- Szczegóły
- Odsłon: 116
Definicja 1
Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
Twierdzenie 1
W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.
Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta lub jego przedłużenia, na który została opuszczona wysokość nazywamy spodkiem wysokości trójkąta.
Wysokości w wybranych trójkątach:
- trójkąt równoramienny:
W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami na podstawę dzieli ją na dwie równe części.
- trójkąt równoboczny:
W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wyrażona jest wzorem:
- trójkąt prostokątny:
W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość 
i 
, dla których wyrażona jest wzorem:
Przykład 1
Oblicz pole powierzchni trójkąta prostokątnego wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 5 cm i 12 cm.
Wiemy, że:
Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru:
Obliczamy pole trójkąta:
Definicja 2
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.
Twierdzenie 2
W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.
Środkowe w wybranych trójkątach:
- trójkąt równoramienny:
W trójkącie równoramiennym środkowa pokrywa się z wysokością poprowadzoną z wierzchołka między ramionami.
- trójkąt równoboczny:
W trójkącie równobocznym wszystkie środkowe pokrywają się z wysokościami. Wynika stąd, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1:2.
- trójkąt prostokątny:
W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość połowy przeciwprostokątnej.
Przykład 2
W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm, a środkowa CE ma długość 16 cm. Oblicz długość środkowej AD.
Wiemy, że:
Obliczamy długość odcinka AO korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Obliczamy długość odcinka OD:
Obliczamy długość środkowej AD:
- Szczegóły
- Odsłon: 87
Oblicz wysokość:
a) w trójkącie prostokątnym równoramiennym, poprowadzoną na przeciwprostokątną o długości 2;
b) w trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 14;
c) w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość 5, 5, 6 poprowadzoną na podstawę.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 1
- Szczegóły
- Odsłon: 59
Wykaż, że w trójkącie równobocznym o boku a wysokość jest równa 
.
Następnie oblicz długość boku trójkąta równobocznego w przypadku, gdy jest on o 3 cm dłuższy od wysokości. Podaj przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do 0,1 cm.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 2
- Szczegóły
- Odsłon: 80
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości a wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 
. Następnie oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego w przypadku, gdy najkrótsza wysokość jest o 5 cm krótsza od przyprostokątnej. Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do 1 cm.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 3
- Szczegóły
- Odsłon: 83
Oblicz wysokość CD trójkąta ABC na rysunku poniżej:
a) 
b) 
c) 
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 4
- Szczegóły
- Odsłon: 77
Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości:
a) 4 cm; 9 cm
b) 3 cm; 1,2 dm
c) 0,9 dm; 1,6 dm
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 5
- Szczegóły
- Odsłon: 86
W trójkącie równoramiennym o obwodzie L wysokość poprowadzona na podstawę ma długość h. Wyznacz długości boków tego trójkąta jeśli:
a) L = 50, h = 5
b) L = 8, h = 2
c) L = 48, h = 12
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 6
- Szczegóły
- Odsłon: 75
W trójkącie równobocznym odległość środka ciężkości od boków jest równa 1 cm. Oblicz:
a) wysokość trójkąta
b) długość boku trójkąta.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 7
- Szczegóły
- Odsłon: 64
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 15 cm i 20 cm. Oblicz:
a) wysokość h trójkąta poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego;
b) odległość spodka wysokości h od środka przeciwprostokątnej;
c) różnicę długości środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i wysokości h.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 8
- Szczegóły
- Odsłon: 68
Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym mają długość 
. Oblicz:
a) długości środkowych w tym trójkącie;
b) odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta prostego.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 9
- Szczegóły
- Odsłon: 97
Oblicz długości środkowych w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość:
a) 18 cm, 15 cm, 15 cm
b) 16 cm, 10 cm, 10 cm
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 10
- Szczegóły
- Odsłon: 83
Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego, jeśli środkowe w tym trójkącie mają długość:
a) 6 cm, 6 cm, 9 cm
b) 9 cm, 9 cm, 6 cm
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 11
- Szczegóły
- Odsłon: 47
Wykaż, że jeśli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona to ten trójkąt jest prostokątny.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 12
- Szczegóły
- Odsłon: 54
Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt K jest środkiem boku AB. Odcinek DK przecina się z przekątną AC w punkcie P. Wykaż, że 
.
Czytaj więcej: Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie. Zadanie 13