Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 7683
Dziedziną równania z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące równanie mają sens liczbowy.
Przykład 1
Wyznaczmy dziedzinę przykładowych równań:
a) 
b) 
c) 
nie możemy dzielić przez 
, zatem
d) 
W liczniku ułamka nie mamy ograniczeń, natomiast nie możemy dzielić przez , zatem
e) 
W licznikach ułamka nie mamy ograniczeń, natomiast nie możemy dzielić przez , zatem
f) 
pod pierwiastkiem nie może wystąpić wartość ujemna, zatem
g) 
nie możemy dzielić przez oraz pod pierwiastkiem nie może wystąpić wartość ujemna, zatem
Liczba spełnia równanie z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do równania w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy liczba 
oraz 
spełnia równanie
dla 
lewa strona równania ma postać
, ponieważ 
liczba nie spełnia równania
dla 
lewa strona równania ma postać
, ponieważ 
liczba spełnia równanie .
Definicja 1
Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny równania, która spełnia to równanie.
Przykład 3
Rozwiąż równanie 
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba .
Definicja 2
Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę należącą do dziedziny tego równania.
Przykład 4
Rozwiąż równanie 
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, zatem jest równaniem tożsamościowym.
Definicja 3
Równaniem sprzecznym nazywamy równanie, którego nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny równania.
Przykład 5
Rozwiąż równanie 
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Widzimy, że podczas rozwiązywania równania otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ 
. Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Szczegóły
- Odsłon: 2714
Podaj dziedzinę danego równania. Następnie sprawdź, czy liczby podane obok równania spełniają te równanie.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1717
Dane jest równanie z niewiadomą 
. Wyznacz wartość liczby 
, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1860
Rozwiąż równania. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1923
Rozwiąż równania. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1753
Rozwiąż równania:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2177
Podaj przykład równania, którego dziedziną jest zbiór R, a zbiorem rozwiązań jest zbiór A, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1781
Czy dane równanie jest tożsamościowe? Odpowiedź uzasadnij.
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1775
Uzasadnij, że poniższe równania są sprzeczne:
a) 
b) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1667
Rozwiąż równanie:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1703
Rozwiąż równanie:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1705
Rozwiąż równania:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1756
Sprawdź, czy podane równania są równoważne:
a) 
oraz 
b) 
oraz 
c) 
oraz 
d) 
oraz 
e) 
oraz 
f) 
oraz 
- Szczegóły
- Odsłon: 1859
(Zadanie Bhâskary* o pszczołach) Piąta część pszczelej gromadki usiadła na kwiatach magnolii, trzecia część tej gromadki – na kwiatach lotosu, potrojona różnica drugiej z tych liczb i pierwszej odleciała ku drzewom jaśminu. Jedna tylko pszczółka – zwabiona słodko pachnącym kwieciem koniczyny – krążyła nad nim. Ile pszczół było w tej gromadce?
* Bhâskara (1114-1185) matematyk hinduski, autor dzieła poświęconego arytmetyce, Lilavati („czarująca”)
- Szczegóły
- Odsłon: 2063
Dziadek rozdzielił orzechy między dwóch wnuków. Młodszemu dał 
wszystkich orzechów i dołożył do nich jeszcze 3 orzechy. Starszemu wnukowi dał pozostałych orzechów i dołożył ostatnie 6 orzechów. Ile orzechów miał dziadek i jak je rozdzielił?
- Szczegóły
- Odsłon: 1600
Wyznacz trzy kolejne liczby nieparzyste, których suma jest równa 
.
- Szczegóły
- Odsłon: 1783
Czy istnieją cztery kolejne liczby naturalne, podzielne przez 3, których suma jest równa 780? Odpowiedź uzasadnij.
- Szczegóły
- Odsłon: 2053
Suma czterech kolejnych liczb całkowitych, niepodzielnych przez 5 jest równa 150. Wyznacz te liczby.
- Szczegóły
- Odsłon: 1586
Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna jest o 2cm dłuższa od boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 1675
Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 3cm krótsza od boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 1510
Jeśli dwa równoległe boki kwadratu pozostawimy bez zmiany, a pozostałe dwa zmniejszymy o 
, to otrzymamy prostokąt, którego pole będzie o 
mniejsze od pola danego kwadratu. Oblicz długość boku danego kwadratu.
- Szczegóły
- Odsłon: 1718
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny, którego przyprostokątne mają długość 
. Jeżeli jedną przyprostokątną pozostawimy bez zmiany, a drugą zwiększymy o 10, to pole trójkąta zwiększy się o 20. Oblicz .
- Szczegóły
- Odsłon: 2401
Janek zazwyczaj wychodzi z domu rano o stałej porze i przychodzi do szkoły o godzinie 
. Dzisiaj wyszedł 5 minut wcześniej, ale szedł dwa razy wolniej i dotarł do szkoły o godzinie 
. O której godzinie Janek wyszedł dzisiaj z domu?