- Szczegóły
- Odsłon: 163
Dziedziną równania z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące równanie mają sens liczbowy.
Przykład 1
Wyznaczmy dziedzinę przykładowych równań:
a)
b)
c)
nie możemy dzielić przez , zatem
d)
W liczniku ułamka nie mamy ograniczeń, natomiast nie możemy dzielić przez , zatem
e)
W licznikach ułamka nie mamy ograniczeń, natomiast nie możemy dzielić przez , zatem
f)
pod pierwiastkiem nie może wystąpić wartość ujemna, zatem
g)
nie możemy dzielić przez oraz pod pierwiastkiem nie może wystąpić wartość ujemna, zatem
Liczba spełnia równanie z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do równania w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy liczba oraz
spełnia równanie
dla lewa strona równania ma postać
, ponieważ
liczba nie spełnia równania
dla lewa strona równania ma postać
, ponieważ
liczba spełnia równanie
.
Definicja 1
Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny równania, która spełnia to równanie.
Przykład 3
Rozwiąż równanie
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba
.
Definicja 2
Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę należącą do dziedziny tego równania.
Przykład 4
Rozwiąż równanie
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, zatem jest równaniem tożsamościowym.
Definicja 3
Równaniem sprzecznym nazywamy równanie, którego nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny równania.
Przykład 5
Rozwiąż równanie
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Widzimy, że podczas rozwiązywania równania otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ . Równanie
jest równaniem sprzecznym.
- Szczegóły
- Odsłon: 168
Podaj dziedzinę danego równania. Następnie sprawdź, czy liczby podane obok równania spełniają te równanie.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 133
Dane jest równanie z niewiadomą . Wyznacz wartość liczby
, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 127
Rozwiąż równania. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 123
Rozwiąż równania. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.
a) b)
c)
- Szczegóły
- Odsłon: 123
Rozwiąż równania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 140
Podaj przykład równania, którego dziedziną jest zbiór R, a zbiorem rozwiązań jest zbiór A, jeśli:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 147
Czy dane równanie jest tożsamościowe? Odpowiedź uzasadnij.
a)
b)
c)
d)
- Szczegóły
- Odsłon: 143
Uzasadnij, że poniższe równania są sprzeczne:
a)
b)
- Szczegóły
- Odsłon: 142
Rozwiąż równanie:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 136
Rozwiąż równanie:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 138
Rozwiąż równania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 136
Sprawdź, czy podane równania są równoważne:
a) oraz
b) oraz
c) oraz
d) oraz
e) oraz
f) oraz
- Szczegóły
- Odsłon: 138
(Zadanie Bhâskary* o pszczołach) Piąta część pszczelej gromadki usiadła na kwiatach magnolii, trzecia część tej gromadki – na kwiatach lotosu, potrojona różnica drugiej z tych liczb i pierwszej odleciała ku drzewom jaśminu. Jedna tylko pszczółka – zwabiona słodko pachnącym kwieciem koniczyny – krążyła nad nim. Ile pszczół było w tej gromadce?
* Bhâskara (1114-1185) matematyk hinduski, autor dzieła poświęconego arytmetyce, Lilavati („czarująca”)
- Szczegóły
- Odsłon: 134
Dziadek rozdzielił orzechy między dwóch wnuków. Młodszemu dał wszystkich orzechów i dołożył do nich jeszcze 3 orzechy. Starszemu wnukowi dał
pozostałych orzechów i dołożył ostatnie 6 orzechów. Ile orzechów miał dziadek i jak je rozdzielił?
- Szczegóły
- Odsłon: 126
Wyznacz trzy kolejne liczby nieparzyste, których suma jest równa .
- Szczegóły
- Odsłon: 131
Czy istnieją cztery kolejne liczby naturalne, podzielne przez 3, których suma jest równa 780? Odpowiedź uzasadnij.
- Szczegóły
- Odsłon: 171
Suma czterech kolejnych liczb całkowitych, niepodzielnych przez 5 jest równa 150. Wyznacz te liczby.
- Szczegóły
- Odsłon: 136
Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna jest o 2cm dłuższa od boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 130
Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 3cm krótsza od boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 125
Jeśli dwa równoległe boki kwadratu pozostawimy bez zmiany, a pozostałe dwa zmniejszymy o , to otrzymamy prostokąt, którego pole będzie o
mniejsze od pola danego kwadratu. Oblicz długość boku danego kwadratu.
- Szczegóły
- Odsłon: 136
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny, którego przyprostokątne mają długość . Jeżeli jedną przyprostokątną pozostawimy bez zmiany, a drugą zwiększymy o 10, to pole trójkąta zwiększy się o 20. Oblicz
.
- Szczegóły
- Odsłon: 179
Janek zazwyczaj wychodzi z domu rano o stałej porze i przychodzi do szkoły o godzinie . Dzisiaj wyszedł 5 minut wcześniej, ale szedł dwa razy wolniej i dotarł do szkoły o godzinie
. O której godzinie Janek wyszedł dzisiaj z domu?