Aktualnie: 158082 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 5404
Dziedziną równania z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące równanie mają sens liczbowy.
Przykład 1
Wyznaczmy dziedzinę przykładowych równań:
a) 
b) 
c) 
nie możemy dzielić przez 
, zatem
d) 
W liczniku ułamka nie mamy ograniczeń, natomiast nie możemy dzielić przez , zatem
e) 
W licznikach ułamka nie mamy ograniczeń, natomiast nie możemy dzielić przez , zatem
f) 
pod pierwiastkiem nie może wystąpić wartość ujemna, zatem
g) 
nie możemy dzielić przez oraz pod pierwiastkiem nie może wystąpić wartość ujemna, zatem
Liczba spełnia równanie z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do równania w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy liczba 
oraz 
spełnia równanie
dla 
lewa strona równania ma postać
, ponieważ 
liczba nie spełnia równania
dla 
lewa strona równania ma postać
, ponieważ 
liczba spełnia równanie .
Definicja 1
Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny równania, która spełnia to równanie.
Przykład 3
Rozwiąż równanie 
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba .
Definicja 2
Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę należącą do dziedziny tego równania.
Przykład 4
Rozwiąż równanie 
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, zatem jest równaniem tożsamościowym.
Definicja 3
Równaniem sprzecznym nazywamy równanie, którego nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny równania.
Przykład 5
Rozwiąż równanie 
Wyznaczamy dziedzinę równania
Rozwiązujemy równanie
Widzimy, że podczas rozwiązywania równania otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ 
. Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Szczegóły
- Odsłon: 2008
Podaj dziedzinę danego równania. Następnie sprawdź, czy liczby podane obok równania spełniają te równanie.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1219
Dane jest równanie z niewiadomą 
. Wyznacz wartość liczby 
, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1323
Rozwiąż równania. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1392
Rozwiąż równania. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1248
Rozwiąż równania:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1593
Podaj przykład równania, którego dziedziną jest zbiór R, a zbiorem rozwiązań jest zbiór A, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1298
Czy dane równanie jest tożsamościowe? Odpowiedź uzasadnij.
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1280
Uzasadnij, że poniższe równania są sprzeczne:
a) 
b) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1227
Rozwiąż równanie:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1233
Rozwiąż równanie:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1243
Rozwiąż równania:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1277
Sprawdź, czy podane równania są równoważne:
a) 
oraz 
b) 
oraz 
c) 
oraz 
d) 
oraz 
e) 
oraz 
f) 
oraz 
- Szczegóły
- Odsłon: 1349
(Zadanie Bhâskary* o pszczołach) Piąta część pszczelej gromadki usiadła na kwiatach magnolii, trzecia część tej gromadki – na kwiatach lotosu, potrojona różnica drugiej z tych liczb i pierwszej odleciała ku drzewom jaśminu. Jedna tylko pszczółka – zwabiona słodko pachnącym kwieciem koniczyny – krążyła nad nim. Ile pszczół było w tej gromadce?
* Bhâskara (1114-1185) matematyk hinduski, autor dzieła poświęconego arytmetyce, Lilavati („czarująca”)
- Szczegóły
- Odsłon: 1458
Dziadek rozdzielił orzechy między dwóch wnuków. Młodszemu dał 
wszystkich orzechów i dołożył do nich jeszcze 3 orzechy. Starszemu wnukowi dał pozostałych orzechów i dołożył ostatnie 6 orzechów. Ile orzechów miał dziadek i jak je rozdzielił?
- Szczegóły
- Odsłon: 1154
Wyznacz trzy kolejne liczby nieparzyste, których suma jest równa 
.
- Szczegóły
- Odsłon: 1235
Czy istnieją cztery kolejne liczby naturalne, podzielne przez 3, których suma jest równa 780? Odpowiedź uzasadnij.
- Szczegóły
- Odsłon: 1455
Suma czterech kolejnych liczb całkowitych, niepodzielnych przez 5 jest równa 150. Wyznacz te liczby.
- Szczegóły
- Odsłon: 1127
Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna jest o 2cm dłuższa od boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 1205
Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 3cm krótsza od boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 1094
Jeśli dwa równoległe boki kwadratu pozostawimy bez zmiany, a pozostałe dwa zmniejszymy o 
, to otrzymamy prostokąt, którego pole będzie o 
mniejsze od pola danego kwadratu. Oblicz długość boku danego kwadratu.
- Szczegóły
- Odsłon: 1216
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny, którego przyprostokątne mają długość 
. Jeżeli jedną przyprostokątną pozostawimy bez zmiany, a drugą zwiększymy o 10, to pole trójkąta zwiększy się o 20. Oblicz .
- Szczegóły
- Odsłon: 1822
Janek zazwyczaj wychodzi z domu rano o stałej porze i przychodzi do szkoły o godzinie 
. Dzisiaj wyszedł 5 minut wcześniej, ale szedł dwa razy wolniej i dotarł do szkoły o godzinie 
. O której godzinie Janek wyszedł dzisiaj z domu?