Egzamin ósmoklasisty 2023

Szczegóły: Odsłon: 52

Poniżej przedstawiono składniki potrzebne do przygotowania ciasta na 8 gofrów.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F –jeśli jest fałszywe.

Do przygotowania ciasta na 40 gofrów, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba 10 jajek.	P	F
Do przygotowania ciasta na 72 gofry, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba 12 szklanek mleka.	P	F

Rozwiązanie:

Wiemy, że mamy podany przepis na cisto, z którego otrzymamy 8 gofrów.

Obliczamy ile razy musimy zwiększyć proporcje ciasta, aby otrzymać 40 gofrów:

Wiemy, że do przygotowania 8 gofrów potrzeba 2 jajka.

Obliczamy ile jajek potrzeba, aby przygotować ciasto na 40 gofrów:

Obliczamy ile razy musimy zwiększyć proporcje ciasta, aby otrzymać 72 gofry:

Wiemy, że do przygotowania 8 gofrów potrzeba szklanki mleka.

Obliczamy ile szklanek mleka potrzeba, aby przygotować ciasto na 72 gofry:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 1

Szczegóły: Odsłon: 24

Dostęp do pliku jest chroniony hasłem ∗∗ T ∗∗ złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków i . Jakie jest hasło do pliku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 24T45 B. 24T75 C. 64T45 D. 64T75

Rozwiązanie:

Wyznaczamy pierwszą liczbę hasła.

Wiemy, że jest to sześcian liczby 4, zatem:

Wyznaczamy drugą liczbę hasła.

Wiemy, że druga liczba to najmniejszy wspólny mianownik ułamków i , zatem wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 15 i 25:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 2

Szczegóły: Odsłon: 27

Dane są cztery wyrażenia:

Jedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość 0 dla 𝑥 = 1 oraz dla 𝑥 = −1. Które to wyrażenie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 𝐺 B. 𝐻 C. 𝐽 D. K

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, które wyrażenie przyjmuje wartość 0 dla 𝑥 = 1 oraz dla 𝑥 = −1:

dla 𝑥 = 1

dla 𝑥 = −1

odrzucamy.

dla 𝑥 = 1

dla 𝑥 = −1

odrzucamy.

dla 𝑥 = 1

dla 𝑥 = −1

przyjmujemy.

dla 𝑥 = 1

dla 𝑥 = −1

odrzucamy.

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 3

Szczegóły: Odsłon: 89

Marta układała książki na dwóch półkach o tych samych wymiarach wewnętrznych. Wszystkie książki były jednakowych rozmiarów. Pierwszą półkę (I) całkowicie wypełniła 12 książkami. Na drugiej półce (II) postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki tak, aby zostało nad nimi wolne miejsce, w sposób pokazany na rysunku.

Uwaga: na rysunku przedstawiono całkowite wypełnienie książkami pierwszej półki (I) oraz częściowe wypełnienie książkami drugiej półki (II).

Ile najwięcej książek Marta mogła zmieścić na drugiej półce (II) przy wskazanym sposobie ustawienia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 7 B. 8 C. 10 D. 11

Rozwiązanie:

Wiemy, że wszystkie książki były jednakowych rozmiarów.

Korzystamy z rysunku I.

Obliczamy grubość jednej książki:

Wiemy, że półki mają takie same wymiary wewnętrzne.

Korzystamy z rysunku II.

Wiemy, że Marta postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki tak, aby zostało nad nimi wolne miejsce.

Obliczamy ile książek ustawionych w pionie zmieści się na półce II:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 4

Szczegóły: Odsłon: 34

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wyrażenie jest równe .

A. 2 B. √32

Wyrażenie jest równe .

C. 13 D. 17

Rozwiązanie:

Wykonujemy obliczenia:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 5

Szczegóły: Odsłon: 122

W sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o 40% większa od liczby jabłoni. Jabłoni jest o 50 mniej niż grusz.

Ile jabłoni rośnie w tym sadzie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 20 B. 30 C. 70 D. 125

Rozwiązanie:

Wiemy, że w sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie.

Oznaczmy:

– liczba jabłoni;

– liczba grusz.

Układamy pierwsze równanie opisujące ile jest w sadzie grusz.

Wiemy, że liczba grusz jest o 40% większa od liczby jabłoni, zatem:

Układamy drugie równanie opisujące ile jest w sadzie grusz.

Wiemy, że w sadzie jabłoni jest o 50 mniej niż grusz, zatem:

Obliczamy ile jest w sadzie jabłoni:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 6

Szczegóły: Odsłon: 36

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Iloraz jest równy .

A. B.

Iloczyn jest równy .

C. D.

Rozwiązanie:

Korzystamy z własności działań na potęgach:

Przekształcamy podane wyrażenia:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 7

Szczegóły: Odsłon: 29

Liczbę 𝑥 powiększono o 7, a następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie. Liczbę 𝑦 zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3.

Która para wyrażeń algebraicznych poprawnie opisuje wykonane działania? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 4(𝑥 + 7) oraz 5𝑦 + 3 B. 4𝑥 + 7 oraz 5𝑦 + 3

C. 4(𝑥 + 7) oraz 5(𝑦 + 3) D. 4𝑥 + 7 oraz 5(𝑦 + 3)

Rozwiązanie:

Wiemy, że liczbę 𝑥 powiększono o 7, a następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie.

Zapisujemy wyrażenie algebraiczne opisujące tę sytuację:

- liczbę 𝑥 powiększono o 7:

- następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie:

Wiemy, że liczbę 𝑦 zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3.

Zapisujemy wyrażenie algebraiczne opisujące tę sytuację:

- liczbę 𝑦 zwiększono 5-krotnie:

- następnie otrzymany wynik powiększono o 3:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 8

Szczegóły: Odsłon: 17

Pewien ostrosłup ma 16 wierzchołków.

Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 17 B. 30 C. 32 D. 45

Rozwiązanie:

Wiemy, że bryłą jest ostrosłup, który ma 16 wierzchołków. Wiemy, że ostrosłup ma jedną podstawę.

Obliczamy ile wierzchołków jest w podstawie tego ostrosłupa:

Wiemy, że graniastosłup ma dwie podstawy o takiej samej liczbie wierzchołków.

Obliczamy ile wierzchołków miałby graniastosłup o podstawie takiej jak ostrosłup:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 9

Szczegóły: Odsłon: 58

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa 8 cm. Plan miasta został wykonany w skali 1 ∶ 4 000.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa

A. 320 m B. 500 m C. 3 200 m D. 5 000 m

Rozwiązanie:

Wiemy, że plan miasta został wykonany w skali 1 ∶ 4 000.

Wiemy, że odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa 8 cm.

Obliczamy odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami:

Wiemy, że:

Obliczoną odległość wyrażamy w metrach:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 10

Szczegóły: Odsłon: 34

Z urny, w której jest wyłącznie 18 kul białych i 12 kul czarnych, losujemy 1 kulę. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe .	P	F
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od .	P	F

Rozwiązanie:

Wiemy, że w urnie jest wyłącznie 18 kul białych i 12 kul czarnych.

Obliczamy ile jest wszystkich kul w urnie:

Wiemy, że losujemy jedną kulę.

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej:

Porównujemy ułamki i sprowadzając je do wspólnego mianownika:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 11

Szczegóły: Odsłon: 35

W prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐸 i 𝐹 są środkami boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Długość odcinka 𝐸𝐶 jest równa 6 cm, a długość odcinka 𝐸𝐹 jest równa 10 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy

A. 64 cm B. 56 cm C. 40 cm D. 28 cm

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

Wiemy, że trójkąt ECF jest prostokątny.

Obliczamy długość odcinka CF korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Wiemy, że w prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐸 i 𝐹 są środkami boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷.

Obliczamy długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:

Obliczamy obwód prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 12

Szczegóły: Odsłon: 45

Agata na dużej kartce w kratkę narysowała figurę złożoną z 40 połączonych odcinków, które kolejno ponumerowała liczbami naturalnymi od 1 do 40.

Na rysunku przedstawiono fragment tej figury, złożony z ośmiu początkowych odcinków. Kolejne odcinki tej figury Agata narysowała według tej samej reguły, którą zastosowała do narysowania odcinków 1–8.

Uwaga: wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Proste zawierające odcinki o numerach 1 oraz 7 są wzajemnie prostopadłe.	P	F
Proste zawierające odcinki o numerach 5 oraz 33 są wzajemnie równoległe.	P	F

Rozwiązanie:

Wiemy, że wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami, zatem odcinki 1, 3, 5, 7 pokrywają się z przekątnymi kwadratu.

Wiemy, że w kwadracie przekątne przecinają się pod kątem prostym, zatem odcinki 1 i 7 są do siebie prostopadłe.

Wiemy, że figura złożona jest z 40 połączonych odcinków.

Zauważamy, że 33 odcinek będzie położony w taki sam sposób jak odcinki 1 i 5, zatem proste zawierające odcinki o numerach 5 oraz 33 są wzajemnie równoległe.

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 13

Szczegóły: Odsłon: 54

Na rysunku przedstawiono trzy figury: kwadrat 𝐹₁, kwadrat 𝐹₂ i prostokąt 𝐹₃, oraz podano ich wymiary.

Czy z figur 𝑭_𝟏, 𝑭_𝟐, 𝑭_𝟑 można ułożyć, bez rozcinania tych figur, kwadrat 𝑲 o polu 𝟒𝟗 𝐜𝐦^𝟐?

Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A.	Tak,	ponieważ	1.	suma obwodów figur 𝐹₂ i 𝐹₃ jest równa obwodowi kwadratu 𝐾.
			2.	suma pól figur 𝐹₁, 𝐹₂ i 𝐹₃ jest równa 49 cm².
B.	Nie,
			3.	suma długości dowolnych boków figur 𝐹₁, 𝐹₂ i 𝐹₃ nie jest równa 7 cm.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że, aby można było zbudować kwadrat o polu równym 49 cm²

jego bok musiałby mieć długość 7 cm.

Z figur F₁, F₂ i F₃ o podanych długościach boków nie można zbudować boku, którego długość jest równa 7 cm.

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 14

Szczegóły: Odsłon: 18

W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 boki 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 i 𝐷𝐴 mają równe długości, a kąt 𝐵𝐶𝐷 ma miarę 131^o.

Przekątna 𝐴𝐶 dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kąt 𝐴𝐵𝐶 ma miarę 60^o	P	F
Kąt 𝐷𝐴𝐵 ma miarę 98^o	P	F

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

Wiemy, że przekątna 𝐴𝐶 dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny.

Wiemy, że w trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają równą miarę - 60^o.

Wiemy, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równą miarę.

Obliczamy :

Wiemy, że w dowolnym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa 180^o.

Obliczamy :

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 15

Szczegóły: Odsłon: 28

Cena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł.

Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

– cena biletu do teatru

– cena biletu do kina

Wiemy, że cena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina.

Układamy równanie opisujące cenę biletu do kina:

Wiemy, że za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł, zatem:

Przekształcamy równanie tak, aby wyznaczyć cenę biletu do kina:

Obliczamy cenę biletu do teatru:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 16

Szczegóły: Odsłon: 10

Pociąg przebył ze stałą prędkością drogę 700 metrów w czasie 50 sekund.

Przy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył w czasie 15 sekund.

Oblicz długość tego pociągu. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

– droga

- czas

– prędkość

– długość pociągu

Wiemy, że prędkość mierzymy w metrach na sekundę, zatem:

Obliczamy prędkość pociągu:

Wiemy, że pociąg porusza się z prędkością , co oznacza, że w czasie 1 s pokonuje drogę 14 m.

Wiemy, że przy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył w czasie 15 sekund.

Obliczamy długość pociągu:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2023: zadanie 17

Szczegóły: Odsłon: 20

W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm² przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 do prostej 𝐴𝐶 jest równa 2 cm.