Aktualnie: 70783 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 1120
Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza bądź równa r.
Twierdzenie 1. (pole koła)
Pole koła o promieniu 
wyraża się wzorem:
Przykład 1.
Oblicz pole koła o promieniu 
. Podaj przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do 
.
Rozwiązanie:
Obliczamy pole koła.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Podajemy przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do .
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Przykład 2.
Dwa okręgi współśrodkowe o różnym promieniu wyznaczają pierścień kołowy. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu i ma długość 
. Oblicz pole tego pierścienia.
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek:
Oznaczmy:
– długość promienia większego koła
– długość promienia mniejszego koła
– pole pierścienia
– pole większego koła
– pole mniejszego koła
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Wyznaczamy wartość wyrażenia 
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Obliczamy pole pierścienia.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Część wspólną koła i kąta środkowego 
nazywamy wycinkiem koła, odpowiadającym temu kątowi.
Twierdzenie 2. (pole wycinka koła)
Pole wycinka koła o promieniu r wyraża się wzorem:
– miara kąta środkowego
– długość łuku jaki wyznacza wycinek koła
lub 
Przykład 3.
Oblicz pole wycinka kola o promieniu 
, jeśli:
a) kąt środkowy 
;
b) łuk jaki wyznacza wycinek koła ma długość 
.
Rozwiązanie:
Obliczamy pole wycinka koła.
a) Wiemy, że:
Otrzymujemy:
b) Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Przykład 3.
W wycinek koła o promieniu 
wpisano okrąg o promieniu 
. Oblicz pole podanego wycinka.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy długość odcinka AO.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Wyznaczamy miarę kąta BAO korzystając z funkcji trygonometrycznych.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Wyznaczamy miarę kąta .
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Obliczamy pole wycinka.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Dowolna cięciwa dzieli koło na dwa odcinki kołowe.
Przykład 4.
Oblicz pole odcinka kołowego zaznaczonego kolorem na rysunku poniżej, jeśli promień koła jest równy 
, a cięciwa ma długość 
.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
– promień koła
– długość cięciwy
– kąt środkowy
Wyznaczamy miarę kąta środkowego korzystając z twierdzenia cosinusów.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Korzystamy z wzorów redukcyjnych.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Obliczamy pole trójkąta wyznaczonego przez cięciwę i promienie koła.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Obliczamy pole wycinka koła.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Obliczamy pole odcinka kołowego.
Oznaczmy:
– pole odcinka kołowego
– pole wycinka koła
– pole trójkąta wyznaczonego przez cięciwę i promienie koła
Zauważamy że:
Otrzymujemy:
