Odwiedza nas 203  gości oraz 0 użytkowników.

yt Youtube      mail Kontakt     tw Twitter     fb Facebook     in Instagram

 

Twierdzenie 1. (twierdzenie cosinusów)

W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, zmniejszony o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

image001 – długości boków trójkąta ABC

image002 – miary kątów trójkąta ABC

image003

image004

image005

image006

Przekształcając powyższe wzory otrzymamy wzór na cosinus kąta w dowolnym trójkącie:

image007

image008

image009

Przykład 1.

Długości dwóch boków trójkąta wynoszą image010 i image011, a miara kąta zawartego między tymi bokami jest równa image012. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

image013

Wiemy, że:

image014

Otrzymujemy:

image015

Przekształcamy równanie korzystając z wzorów redukcyjnych.

Wiemy, że:

image016

zatem:

image017

Otrzymujemy:

image018

image019

image020

image021

image022

Przykład 2.

Oblicz długość środkowej CD w trójkącie ABC jeśli dane są długości boków trójkąta: image023, image024, image025.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

image026

Wyznaczamy image027 w trójkącie DBC:

Wiemy, że:

image028

image029

Otrzymujemy:

image030

image031

image032

Analogicznie wyznaczamy image027 w trójkącie ABC:

Wiemy, że:

image028

image029

Otrzymujemy:

image033

image034

image042

image035

Obliczamy długość środkowej CD:

Wiemy, że:

image032

image035

Otrzymujemy:

image036

image037

image038

image039

image040

image041