Twierdzenie 1. (twierdzenie cosinusów)
W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, zmniejszony o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
– długości boków trójkąta ABC
– miary kątów trójkąta ABC
Przekształcając powyższe wzory otrzymamy wzór na cosinus kąta w dowolnym trójkącie:
Przykład 1.
Długości dwóch boków trójkąta wynoszą i , a miara kąta zawartego między tymi bokami jest równa . Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek:
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Przekształcamy równanie korzystając z wzorów redukcyjnych.
Wiemy, że:
zatem:
Otrzymujemy:
Przykład 2.
Oblicz długość środkowej CD w trójkącie ABC jeśli dane są długości boków trójkąta: , , .
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek:
Wyznaczamy w trójkącie DBC:
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Analogicznie wyznaczamy w trójkącie ABC:
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Obliczamy długość środkowej CD:
Wiemy, że:
Otrzymujemy: