Twierdzenie 1. (twierdzenie cosinusów)

W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, zmniejszony o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

 – długości boków trójkąta ABC

 – miary kątów trójkąta ABC

Przekształcając powyższe wzory otrzymamy wzór na cosinus kąta w dowolnym trójkącie:

Przykład 1.

Długości dwóch boków trójkąta wynoszą  i , a miara kąta zawartego między tymi bokami jest równa . Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Przekształcamy równanie korzystając z wzorów redukcyjnych.

Wiemy, że:

zatem:

Otrzymujemy:

Przykład 2.

Oblicz długość środkowej CD w trójkącie ABC jeśli dane są długości boków trójkąta: , , .

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

Wyznaczamy  w trójkącie DBC:

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Analogicznie wyznaczamy  w trójkącie ABC:

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy długość środkowej CD:

Wiemy, że:

Otrzymujemy: