Aktualnie: 70717 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 5765
Definicja 1.
W układzie współrzędnych dane są punkty 
i 
.
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb 
.
Taki wektor oznaczamy 
.
Liczby 
nazywamy współrzędnymi wektora.
Przykład 1.
Na rysunku poniżej w układzie współrzędnych dane są punkty A, B, C, D, E, F oraz wektory 
. Oblicz współrzędne podanych wektorów.
Wektor jest zaczepiony w punkcie 
, a jego końcem jest punkt 
, zatem:
Wyznaczamy współrzędne wektorów 
i 
:
Wektor, którego obie współrzędne są zerami, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 
. Interpretacją geometryczną wektora zerowego jest punkt.
Przykład 2.
Dany jest punkt 
. Wyznacz współrzędne punktu B, wiedząc, że 
.
Wiemy, że:
Korzystamy z definicji wektora:
Otrzymujemy:
Przesunięcie z punktu A do punktu B wzdłuż osi OX opisuje pierwsza współrzędna wektora , zaś wzdłuż osi OY – druga współrzędna tego wektora. Jeśli współrzędna wektora jest liczbą dodatnią, to przesunięcie jest zgodne ze zwrotem osi, a jeśli ujemną – przeciwne do zwrotu osi.
Wektory 
i 
nazywamy wektorami składowymi wektora .
Przykład 2.
Dany jest punkt 
oraz wektor 
.
a) Podaj współrzędne składowych tego wektora,
b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych 
i 
, wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.
a) Podaj współrzędne składowych tego wektora
b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych i , wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.
Definicja 2.
Wektory 
i 
, gdzie 
i 
, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy 
i 
. Równość wektorów i zapisujemy 
.
Przykład 3.
Przedstaw w układzie współrzędnych wektor 
.
Zbiór wszystkich wektorów równych danemu wektorowi zaczepionemu nazywamy wektorem swobodnym.
Przykład 4.
Odczytaj z rysunku współrzędne przedstawionych wektorów.
Definicja 3.
Długością wektora , gdzie , nazywamy liczbę 
. Długość wektora oznaczamy 
.
Przykład 5.
Oblicz długość wektora , gdzie 
.
Jeśli i , to długość wektora wyraża się wzorem:
Przykład 6.
Mamy dane punkty 
i 
. Wyznacz długość wektora .
Definicja 4.
Sumą wektorów i , gdzie i , nazywamy wektor 
. Sumę wektorów i oznaczamy 
.
Przykład 7.
Wyznacz sumę wektorów i , gdzie 
i 
, a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.
Definicja 5.
Wektory i , gdzie i , są przeciwne wtedy, gdy suma wektorów i jest wektorem zerowym, wówczas:
oraz
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy 
.
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy 
lub 
.
Jeśli wówczas 
.
Definicja 6.
Różnicą wektorów i , gdzie i , nazywamy wektor 
. Różnicę wektorów i oznaczamy 
.
Odjąć wektor od wektora to znaczy dodać do wektora wektor 
.
Przykład 8.
Wyznacz różnicę wektorów i , gdzie i , a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.
Definicja 7.
Iloczynem wektora , gdzie , przez liczbę rzeczywistą k nazywamy wektor 
. Iloczyn wektora przez liczbę k oznaczamy 
.
Przykład 9.
Jeśli , to 
.
Twierdzenie 1.
Jeśli punkt S jest środkiem odcinka AB, gdzie i , to
- Szczegóły
- Odsłon: 2464
Oblicz współrzędne wektora 
, wiedząc, że:
a) 
b) 
Jakie współrzędne ma wektor 
?
- Szczegóły
- Odsłon: 2424
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wektory 
, 
i 
, gdzie 
. Początek wektora dobierz dowolnie.
- Szczegóły
- Odsłon: 2360
Podaj współrzędne wektorów zaznaczonych na rysunku obok. Następnie oblicz długości tych wektorów.
- Szczegóły
- Odsłon: 1998
Dany jest punkt A oraz wektor 
. Wyznacz współrzędne punktu B.
a) 
b) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1675
Dany jest punkt B oraz wektor 
. Wyznacz współrzędne punktu A.
a) 
b) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1938
Dane są punkty 
. Wyznacz punkt D, dla którego:
a) wektory 
i 
są równe,
b) wektory i są przeciwne.
Narysuj wektory i w jednym układzie współrzędnych.
- Szczegóły
- Odsłon: 1927
Wyznacz liczby a i b, dla których wektory 
i 
, gdzie:
a) 
, są równe,
b) 
, są przeciwne.
- Szczegóły
- Odsłon: 1675
Oblicz współrzędne środka odcinka AB, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1864
Oblicz długość wektora:
a) 
, jeśli 
,
b) 
, jeśli 
,
c) 
, jeśli 
,
d) 
, jeśli 
.
- Szczegóły
- Odsłon: 1905
Dane są punkty: A, B i P. Zaznacz w układzie współrzędnych wektor 
oraz 
i oblicz ich współrzędne. Jaka jest zależność między wektorem i wektorem ?
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1495
Dany jest wektor 
, gdzie 
i punkt 
. Wyznacz współrzędne punktu B, dla którego:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1529
Wiedząc, że 
oraz 
, wyznacz współrzędne wektora:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1406
Wiedząc, że 
oraz 
, wyznacz długość wektora:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1412
Wiedząc, że 
i 
, wyznacz liczby a i b, dla których:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1199
Wektory 
i 
są równoległe. Oblicz a jeśli:
a) 
b) 