Aktualnie: 54994 użytkowników
Definicja 1.
W układzie współrzędnych dane są punkty i
.
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb .
Taki wektor oznaczamy .
Liczby nazywamy współrzędnymi wektora.
Przykład 1.
Na rysunku poniżej w układzie współrzędnych dane są punkty A, B, C, D, E, F oraz wektory . Oblicz współrzędne podanych wektorów.
Wektor jest zaczepiony w punkcie
, a jego końcem jest punkt
, zatem:
Wyznaczamy współrzędne wektorów i
:
Wektor, którego obie współrzędne są zerami, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy . Interpretacją geometryczną wektora zerowego jest punkt.
Przykład 2.
Dany jest punkt . Wyznacz współrzędne punktu B, wiedząc, że
.
Wiemy, że:
Korzystamy z definicji wektora:
Otrzymujemy:
Przesunięcie z punktu A do punktu B wzdłuż osi OX opisuje pierwsza współrzędna wektora , zaś wzdłuż osi OY – druga współrzędna tego wektora. Jeśli współrzędna wektora jest liczbą dodatnią, to przesunięcie jest zgodne ze zwrotem osi, a jeśli ujemną – przeciwne do zwrotu osi.
Wektory i
nazywamy wektorami składowymi wektora
.
Przykład 2.
Dany jest punkt oraz wektor
.
a) Podaj współrzędne składowych tego wektora,
b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych i
, wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.
a) Podaj współrzędne składowych tego wektora
b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych i
, wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.
Definicja 2.
Wektory i
, gdzie
i
, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
i
. Równość wektorów
i
zapisujemy
.
Przykład 3.
Przedstaw w układzie współrzędnych wektor .
Zbiór wszystkich wektorów równych danemu wektorowi zaczepionemu nazywamy wektorem swobodnym.
Przykład 4.
Odczytaj z rysunku współrzędne przedstawionych wektorów.
Definicja 3.
Długością wektora , gdzie
, nazywamy liczbę
. Długość wektora
oznaczamy
.
Przykład 5.
Oblicz długość wektora , gdzie
.
Jeśli i
, to długość wektora
wyraża się wzorem:
Przykład 6.
Mamy dane punkty i
. Wyznacz długość wektora
.
Definicja 4.
Sumą wektorów i
, gdzie
i
, nazywamy wektor
. Sumę wektorów
i
oznaczamy
.
Przykład 7.
Wyznacz sumę wektorów i
, gdzie
i
, a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.
Definicja 5.
Wektory i
, gdzie
i
, są przeciwne wtedy, gdy suma wektorów
i
jest wektorem zerowym, wówczas:
oraz
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy
.
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy
lub
.
Jeśli wówczas
.
Definicja 6.
Różnicą wektorów i
, gdzie
i
, nazywamy wektor
. Różnicę wektorów
i
oznaczamy
.
Odjąć wektor od wektora
to znaczy dodać do wektora
wektor
.
Przykład 8.
Wyznacz różnicę wektorów i
, gdzie
i
, a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.
Definicja 7.
Iloczynem wektora , gdzie
, przez liczbę rzeczywistą k nazywamy wektor
. Iloczyn wektora
przez liczbę k oznaczamy
.
Przykład 9.
Jeśli , to
.
Twierdzenie 1.
Jeśli punkt S jest środkiem odcinka AB, gdzie i
, to
Oblicz współrzędne wektora , wiedząc, że:
a)
b)
Jakie współrzędne ma wektor ?
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wektory ,
i
, gdzie
. Początek wektora dobierz dowolnie.
Podaj współrzędne wektorów zaznaczonych na rysunku obok. Następnie oblicz długości tych wektorów.
Dany jest punkt A oraz wektor . Wyznacz współrzędne punktu B.
a)
b)
Dany jest punkt B oraz wektor . Wyznacz współrzędne punktu A.
a)
b)
Dane są punkty . Wyznacz punkt D, dla którego:
a) wektory i
są równe,
b) wektory i
są przeciwne.
Narysuj wektory i
w jednym układzie współrzędnych.
Wyznacz liczby a i b, dla których wektory i
, gdzie:
a) , są równe,
b) , są przeciwne.
Oblicz współrzędne środka odcinka AB, jeśli:
a)
b)
c)
d)
Oblicz długość wektora:
a) , jeśli
,
b) , jeśli
,
c) , jeśli
,
d) , jeśli
.
Dane są punkty: A, B i P. Zaznacz w układzie współrzędnych wektor oraz
i oblicz ich współrzędne. Jaka jest zależność między wektorem
i wektorem
?
a)
b)
c)
d)
Dany jest wektor , gdzie
i punkt
. Wyznacz współrzędne punktu B, dla którego:
a)
b)
c)
Wiedząc, że oraz
, wyznacz współrzędne wektora:
a)
b)
c)
d)
Wiedząc, że oraz
, wyznacz długość wektora:
a)
b)
c)
d)
Wiedząc, że i
, wyznacz liczby a i b, dla których:
a)
b)
c)
d)
Wektory i
są równoległe. Oblicz a jeśli:
a)
b)