Odwiedza nas 105  gości oraz 0 użytkowników.

yt Youtube      mail Kontakt     tw Twitter     fb Facebook     in Instagram

 

Polityka plików cookie

spolecznosc      wesprzyj

Definicja 1.

W układzie współrzędnych dane są punkty image001 image002.

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb image003.

Taki wektor oznaczamy image004.

Liczby image005 nazywamy współrzędnymi wektora.

Przykład 1.

Na rysunku poniżej w układzie współrzędnych dane są punkty A, B, C, D, E, F oraz wektory image006. Oblicz współrzędne podanych wektorów.

image007

Wektor image004 jest zaczepiony w punkcie image008, a jego końcem jest punkt image009, zatem:

image010

image011

image012

Wyznaczamy współrzędne wektorów image013 i image014:

image015

image016

image017

image018

image019

image020

Wektor, którego obie współrzędne są zerami, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy image021. Interpretacją geometryczną wektora zerowego jest punkt.

Przykład 2.

Dany jest punkt image022. Wyznacz współrzędne punktu B, wiedząc, że image023.

Wiemy, że:

image022

image002

image023

Korzystamy z definicji wektora:

image010

image024

Otrzymujemy:

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

Przesunięcie z punktu A do punktu B wzdłuż osi OX opisuje pierwsza współrzędna wektora image004, zaś wzdłuż osi OY – druga współrzędna tego wektora. Jeśli współrzędna wektora jest liczbą dodatnią, to przesunięcie jest zgodne ze zwrotem osi, a jeśli ujemną – przeciwne do zwrotu osi.

image032 

Wektory image033 i image034 nazywamy wektorami składowymi wektora image004.

Przykład 2.

Dany jest punkt image035 oraz wektor image036.

a) Podaj współrzędne składowych tego wektora,

b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych image037 i image038, wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.

a) Podaj współrzędne składowych tego wektora

image039

image040

b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych image037 i image038, wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.

image041

Definicja 2.

Wektory image042 i image043, gdzie image044 image045, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy image046 image047. Równość wektorów image042 i image043 zapisujemy image048.

Przykład 3.

Przedstaw w układzie współrzędnych wektor image049.

image050

Zbiór wszystkich wektorów równych danemu wektorowi zaczepionemu nazywamy wektorem swobodnym.

Przykład 4.

Odczytaj z rysunku współrzędne przedstawionych wektorów.

image051

image052

Definicja 3.

Długością wektora image042, gdzie image044, nazywamy liczbę image053. Długość wektora image042 oznaczamy image054.

Przykład 5.

Oblicz długość wektora image042, gdzie image055.

image056

image057

image058

image059

Jeśli image001 image002, to długość wektora image004 wyraża się wzorem:

image060

Przykład 6.

Mamy dane punkty image061 i image062. Wyznacz długość wektora image004.

image060

image061

image062

image063

image064

image065

image066

image067

image068

image069

Definicja 4.

Sumą wektorów image042 i image043, gdzie  image044 image045, nazywamy wektor image070. Sumę wektorów  image042 i image043 oznaczamy image071.

Przykład 7.

Wyznacz sumę wektorów image042 i image043, gdzie image072 image073, a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.

image074

image072

image073

image075

image076

image077

Definicja 5.

Wektory image042 i image043, gdzie image044 image045, są przeciwne wtedy, gdy suma wektorów image042 i image043 jest wektorem zerowym, wówczas:

image078

oraz

image079

Wektor przeciwny do wektora image042 oznaczamy image080.

Wektor przeciwny do wektora image004 oznaczamy image081 lub image082.

Jeśli image044 wówczas image083.

Definicja 6.

Różnicą wektorów image042 i image043, gdzie image044 image045, nazywamy wektor image084. Różnicę wektorów  image042 i image043 oznaczamy image085.

Odjąć wektor image043 od wektora image042 to znaczy dodać do wektora image042 wektor image086.

image087

Przykład 8.

Wyznacz różnicę wektorów image042 i image043, gdzie image072 image073, a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.

image088

image072

image073

image089

image090

image091

image092

Definicja 7.

Iloczynem wektora image042, gdzie image044, przez liczbę rzeczywistą k nazywamy wektor image093. Iloczyn wektora image042 przez liczbę k oznaczamy image094.

Przykład 9.

Jeśli image072, to image095.

Twierdzenie 1.

Jeśli punkt S jest środkiem odcinka AB, gdzie image001 i image002, to

image097