Definicja 1.

W układzie współrzędnych dane są punkty  i .

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb .

Taki wektor oznaczamy .

Liczby  nazywamy współrzędnymi wektora.

Przykład 1.

Na rysunku poniżej w układzie współrzędnych dane są punkty A, B, C, D, E, F oraz wektory . Oblicz współrzędne podanych wektorów.

Wektor  jest zaczepiony w punkcie , a jego końcem jest punkt , zatem:

Wyznaczamy współrzędne wektorów  i :

Wektor, którego obie współrzędne są zerami, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy . Interpretacją geometryczną wektora zerowego jest punkt.

Przykład 2.

Dany jest punkt . Wyznacz współrzędne punktu B, wiedząc, że .

Wiemy, że:

Korzystamy z definicji wektora:

Otrzymujemy:

Przesunięcie z punktu A do punktu B wzdłuż osi OX opisuje pierwsza współrzędna wektora , zaś wzdłuż osi OY – druga współrzędna tego wektora. Jeśli współrzędna wektora jest liczbą dodatnią, to przesunięcie jest zgodne ze zwrotem osi, a jeśli ujemną – przeciwne do zwrotu osi.

Wektory  i  nazywamy wektorami składowymi wektora .

Przykład 2.

Dany jest punkt  oraz wektor .

a) Podaj współrzędne składowych tego wektora,

b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych  i , wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.

a) Podaj współrzędne składowych tego wektora

b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych  i , wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.

Definicja 2.

Wektory  i , gdzie  i , są równe wtedy i tylko wtedy, gdy  i . Równość wektorów  i zapisujemy .

Przykład 3.

Przedstaw w układzie współrzędnych wektor .

Zbiór wszystkich wektorów równych danemu wektorowi zaczepionemu nazywamy wektorem swobodnym.

Przykład 4.

Odczytaj z rysunku współrzędne przedstawionych wektorów.

Definicja 3.

Długością wektora , gdzie , nazywamy liczbę . Długość wektora  oznaczamy .

Przykład 5.

Oblicz długość wektora , gdzie .

Jeśli  i , to długość wektora  wyraża się wzorem:

Przykład 6.

Mamy dane punkty  i . Wyznacz długość wektora .

Definicja 4.

Sumą wektorów  i , gdzie   i , nazywamy wektor . Sumę wektorów   i oznaczamy .

Przykład 7.

Wyznacz sumę wektorów  i , gdzie  i , a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.

Definicja 5.

Wektory  i , gdzie  i , są przeciwne wtedy, gdy suma wektorów  i jest wektorem zerowym, wówczas:

oraz

Wektor przeciwny do wektora  oznaczamy .

Wektor przeciwny do wektora  oznaczamy  lub .

Jeśli  wówczas .

Definicja 6.

Różnicą wektorów  i , gdzie  i , nazywamy wektor . Różnicę wektorów   i oznaczamy .

Odjąć wektor  od wektora  to znaczy dodać do wektora  wektor .

Przykład 8.

Wyznacz różnicę wektorów  i , gdzie  i , a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.

Definicja 7.

Iloczynem wektora , gdzie , przez liczbę rzeczywistą k nazywamy wektor . Iloczyn wektora  przez liczbę k oznaczamy .

Przykład 9.

Jeśli , to .

Twierdzenie 1.

Jeśli punkt S jest środkiem odcinka AB, gdzie  i , to