Witaj w matzadanie!

Szczegóły

Odsłon: 286

      

Okrąg o środku w punkcie S i promieniu r, to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny P, których odległość od środka S jest równa r, czyli

Na rysunku poniżej w kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie  i promieniu  oraz punkt  leżący na okręgu.

Wyznaczamy długość odcinka SP:

Wiemy, że:

zatem

Obie strony równania są nieujemne, zatem równanie możemy podnieść do kwadratu:

Wiemy, że punkt  może leżeć w dowolnym miejscu na okręgu, zatem zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

Definicja 1.

Równanie , gdzie , nazywamy równaniem kanonicznym okręgu.

Przykład 1.

Sprawdź, czy punkt  należy do okręgu opisanego równaniem:

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

Zauważamy, że powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie o współrzędnych  i promieniu równym .

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania okręgu:

otrzymujemy:

Wniosek:

Punkt A należy do okręgu.

Przykład 2.

Napisz równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu 5. Podaj przykładowe dwa punkty należące do okręgu.

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

otrzymujemy:

Wyznaczamy współrzędne pierwszego punktu należącego do okręgu.

Zauważamy, że:

zatem:

Otrzymaliśmy:

Wyznaczamy współrzędne drugiego punktu należącego do okręgu.

Zauważamy, że:

zatem:

Otrzymaliśmy:

Przykład 3.

Doprowadź równanie okręgu  do postaci kanonicznej. Podaj współrzędne środka okręgu oraz długość promienia.

Rozwiązanie:

Przekształcamy równanie:

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:

Otrzymaliśmy równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu 2.

Przykład 4.

Napisz równanie okręgu wyznaczonego przez trzy punkty ,  i .

Rozwiązanie:

Wiemy, że środek okręgu jest punktem równoodległym od punktów ,  i , więc jest on punktem przecięcia się symetralnych odcinków AB, BC i AC.

Do wyznaczenia środka okręgu wystarczy narysować symetralne dwóch boków, np.: AB i BC. Wykonujemy rysunek:

Wyznaczamy współrzędne punku D.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

,

Obliczamy współczynnik kierunkowy a prostej AB.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

, 

Wyznaczamy równanie symetralnej DS.

Wiemy, że:

otrzymujemy:

Wyznaczamy współrzędne punku E.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

,

Obliczamy współczynnik kierunkowy a prostej BC.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

,

Wyznaczamy równanie symetralnej ES.

Wiemy, że:

otrzymujemy:

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu.

Rozwiązujemy układ równań:

Wyznaczamy długość promienia okręgu.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

,

Zapisujemy równanie okręgu.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

,