Aktualnie: 5169 użytkowników
Okrąg o środku w punkcie S i promieniu r, to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny P, których odległość od środka S jest równa r, czyli
Na rysunku poniżej w kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie i promieniu oraz punkt leżący na okręgu.
Wyznaczamy długość odcinka SP:
Wiemy, że:
zatem
Obie strony równania są nieujemne, zatem równanie możemy podnieść do kwadratu:
Wiemy, że punkt może leżeć w dowolnym miejscu na okręgu, zatem zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie i promieniu :
Definicja 1.
Równanie , gdzie , nazywamy równaniem kanonicznym okręgu.
Przykład 1.
Sprawdź, czy punkt należy do okręgu opisanego równaniem:
Rozwiązanie:
Wiemy, że:
Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:
Zauważamy, że powyższe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie o współrzędnych i promieniu równym .
Podstawiamy współrzędne punktu A do równania okręgu:
otrzymujemy:
Wniosek:
Punkt A należy do okręgu.
Przykład 2.
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie i promieniu 5. Podaj przykładowe dwa punkty należące do okręgu.
Rozwiązanie:
Wiemy, że:
otrzymujemy:
Wyznaczamy współrzędne pierwszego punktu należącego do okręgu.
Zauważamy, że:
zatem:
Otrzymaliśmy:
Wyznaczamy współrzędne drugiego punktu należącego do okręgu.
Zauważamy, że:
zatem:
Otrzymaliśmy:
Przykład 3.
Doprowadź równanie okręgu do postaci kanonicznej. Podaj współrzędne środka okręgu oraz długość promienia.
Rozwiązanie:
Przekształcamy równanie:
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:
Otrzymaliśmy równanie okręgu o środku w punkcie i promieniu 2.
Przykład 4.
Napisz równanie okręgu wyznaczonego przez trzy punkty , i .
Rozwiązanie:
Wiemy, że środek okręgu jest punktem równoodległym od punktów , i , więc jest on punktem przecięcia się symetralnych odcinków AB, BC i AC.
Do wyznaczenia środka okręgu wystarczy narysować symetralne dwóch boków, np.: AB i BC. Wykonujemy rysunek:
Wyznaczamy współrzędne punku D.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
,
Obliczamy współczynnik kierunkowy a prostej AB.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
,
Wyznaczamy równanie symetralnej DS.
Wiemy, że:
otrzymujemy:
Wyznaczamy współrzędne punku E.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
,
Obliczamy współczynnik kierunkowy a prostej BC.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
,
Wyznaczamy równanie symetralnej ES.
Wiemy, że:
otrzymujemy:
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu.
Rozwiązujemy układ równań:
Wyznaczamy długość promienia okręgu.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
,
Zapisujemy równanie okręgu.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
,