Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 2218
Przykład 1.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej 
.
Miejsca zerowe funkcji to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 0, zatem są to liczby spełniające równanie:
Funkcja ma dwa miejsca zerowe: i .
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej 
, gdzie 
, jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i osi OX.
Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest większy od zera 
wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry. Wyróżniamy wówczas trzy przypadki: brak miejsc zerowych, jedno miejsce zerowe i dwa miejsca zerowe.
Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest mniejszy od zera 
wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu. Wyróżniamy wówczas trzy przypadki: brak miejsc zerowych, jedno miejsce zerowe i dwa miejsca zerowe.
Znak wyróżnika 
zależy od znaku iloczynu 
.
Jeśli:
Twierdzenie 1.
Funkcja kwadratowa 
, gdzie oraz 
:
- nie ma miejsc zerowych, wtedy i tylko wtedy, gdy 
,
- ma jedno miejsce zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy 
,
- ma dwa miejsca zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy 
.
Twierdzenie 2.
Funkcja kwadratowa , gdzie oraz :
- nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ,
- ma jedno miejsce zerowe
wtedy i tylko wtedy, gdy ,
- ma dwa miejsca zerowe
wtedy i tylko wtedy, gdy .
Przykład 2.
Wyznacz miejsca zerowe podanych funkcji:
a) 
Wniosek:
, brak miejsc zerowych.
b) 
Wniosek:
, jedno miejsce zerowe:
c) 
Wniosek:
, dwa miejsca zerowe:
Jeśli 
, wówczas wzór funkcji kwadratowej , gdzie można przedstawić w postaci iloczynowej:
Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych 
wówczas nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.
Przykład 3.
Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej 
. Przedstaw wzór tej funkcji w postaci iloczynowej i wyznacza miejsca zerowe funkcji f.
Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:
Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:
, wyznaczamy dwa miejsca zerowe:
Przedstawiamy funkcję w postaci iloczynowej:
Przykład 4.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Korzystając z danych na rysunku zapisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji kwadratowej f:
Odczytujemy z wykresu współrzędne punktu A:
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:
Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłon: 2524
Oceń na podstawie wartości wyróżnika, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2980
Oceń na podstawie wartości a i q, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2839
Wyznacz miejsca zerowe, o ile istnieją, funkcji kwadratowej:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2555
Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej podaj miejsca zerowe tej funkcji:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2277
Dany jest współczynnik a i miejsce zerowe funkcji kwadratowej 
. Zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1996
Dany jest wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Podaj wzór funkcji f w postaci ogólnej, jeśli:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2804
Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, o ile istnieje, jeśli:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2351
Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2443
Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. Podaj wzór funkcji f w postaci kanonicznej.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2576
Dany jest wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Podaj wzór funkcji f w postaci iloczynowej, o ile istnieje – bez wyznaczania wzoru funkcji f w postaci ogólnej.
a) 
b) 
c) 