Przykład 1.

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej .

Miejsca zerowe funkcji to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 0, zatem są to liczby spełniające równanie:

Funkcja  ma dwa miejsca zerowe:  i .

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej , gdzie , jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i osi OX.

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest większy od zera  wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry. Wyróżniamy wówczas trzy przypadki: brak miejsc zerowych, jedno miejsce zerowe i dwa miejsca zerowe.

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest mniejszy od zera  wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu. Wyróżniamy wówczas trzy przypadki: brak miejsc zerowych, jedno miejsce zerowe i dwa miejsca zerowe.

Znak wyróżnika  zależy od znaku iloczynu .

Jeśli:

Twierdzenie 1.

Funkcja kwadratowa , gdzie  oraz :

- nie ma miejsc zerowych, wtedy i tylko wtedy, gdy ,

- ma jedno miejsce zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy ,

- ma dwa miejsca zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy .

Twierdzenie 2.

Funkcja kwadratowa , gdzie  oraz :

- nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ,

- ma jedno miejsce zerowe

 wtedy i tylko wtedy, gdy ,

- ma dwa miejsca zerowe

 wtedy i tylko wtedy, gdy .

Przykład 2.

Wyznacz miejsca zerowe podanych funkcji:

a) 

Wniosek:

, brak miejsc zerowych.

b) 

Wniosek:

, jedno miejsce zerowe:

c) 

Wniosek:

, dwa miejsca zerowe:

Jeśli , wówczas wzór funkcji kwadratowej , gdzie  można przedstawić w postaci iloczynowej:

Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych  wówczas nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.

Przykład 3.

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej . Przedstaw wzór tej funkcji w postaci iloczynowej i wyznacza miejsca zerowe funkcji f.

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

, wyznaczamy dwa miejsca zerowe:

Przedstawiamy funkcję w postaci iloczynowej:

Przykład 4.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Korzystając z danych na rysunku zapisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji kwadratowej f:

Odczytujemy z wykresu współrzędne punktu A:

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej: