Aktualnie: 70650 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 5140
Definicja 1
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem 
, gdzie 
. Liczby rzeczywiste a, b oraz c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
 |
 |
|
Ramiona paraboli skierowane są do góry. Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość, nie przyjmuje wartości największej. Najmniejsza wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, równą q. Oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem |
Ramiona paraboli skierowane są do dołu. Funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość, nie przyjmuje wartości najmniejszej. Największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, równą q. Oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem |
, gdzie 
Parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej , gdzie , przecina oś OY w punkcie o współrzędnych 
.
Jeśli liczby 
są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, to osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu:
Przykład 1
Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej 
.
Zauważamy, że współczynnik 
, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.
Przekształcamy wzór funkcji 
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
Zauważamy, że najmniejszą wartość, czyli zero funkcja f przyjmuje dla argumentu 
.
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ma zatem współrzędne 
.
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji jest prosta opisana równaniem 
.
Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy jeszcze kilka punktów:
oraz punkty do nich symetryczne względem prostej :
Przykład 2
Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej 
, wyznacz jej miejsca zerowe oraz zapisz przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
Zauważamy, że współczynnik 
, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu.
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:
Miejscami zerowymi funkcji f są liczby: 0 i 4.
Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji f:
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli opisanej wzorem :
Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy jeszcze kilka punktów:
oraz punkty do nich symetryczne względem prostej :
Odczytujemy przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:
Wzór każdej funkcji kwadratowej 
, gdzie , można zapisać w postaci 
, gdzie 
to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
Wzór nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Przykład 3
Ze wzoru funkcji kwadratowej 
odczytaj:
a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
b) argument, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.
c) zapisz równanie będące osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.
a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
Wiemy, że we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
b) argument, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.
Współczynnik 
, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.
Wiemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne 
, zatem
najmniejszą wartość, czyli 
, funkcja f przyjmuje dla argumentu 
.
c) zapisz równanie będące osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.
Wiemy, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem .
Przykład 4
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeśli:
a) 
b) 
a)
Funkcja f w postaci kanonicznej opisana jest wzorem:
b)
Funkcja f w postaci kanonicznej opisana jest wzorem:
- Szczegóły
- Odsłon: 2013
Poniżej znajdują się wykresy funkcji kwadratowych. Uzupełnij brakujące współrzędne punktów A, B, C należących do tych wykresów.
a) 
b) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 1
- Szczegóły
- Odsłon: 2857
Dany jest wzór funkcji kwadratowej. Naszkicuj wykres tej funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych i omów jej własności.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 2
- Szczegóły
- Odsłon: 3067
Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Podaj współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz równanie prostej będącej osią symetrii tej paraboli.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 3
- Szczegóły
- Odsłon: 3795
Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY. Naszkicuj wykres funkcji, następnie odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości tej funkcji.
a) 
b) 
c) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 4
- Szczegóły
- Odsłon: 3093
Zapisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Następnie podaj zbiór wartości tej funkcji oraz przedziały monotoniczności.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 5
- Szczegóły
- Odsłon: 2008
Wyznacz miejsca zerowe, (jeżeli istnieją) funkcji kwadratowej określonej wzorem:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 6
- Szczegóły
- Odsłon: 2762
Wyznacz miejsca zerowe, (jeżeli istnieją) funkcji kwadratowej określonej wzorem:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 7
- Szczegóły
- Odsłon: 3388
Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Oblicz miejsca zerowe funkcji f. Naszkicuj wykres tej funkcji i podaj zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne, oraz zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 8
- Szczegóły
- Odsłon: 2535
Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Naszkicuj wykres tej funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych i omów jej własności.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
e)
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 9
- Szczegóły
- Odsłon: 1919
Dany jest zbiór wartości funkcji kwadratowej f, równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz punkt P należący do tej paraboli. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej i w postaci ogólnej.
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Funkcja kwadratowa - podstawowe własności. Zadanie 10