Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Naszkicuj wykres tej funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych i omów jej własności.

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

e)  

      

Rozwiązanie:

a) 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości:

Miejsca zerowe:

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: -4 dla argumentu 0.

b) 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Widzimy, że w tym przypadku miejsce zerowe jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f.

Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy współrzędne dwóch dodatkowych punktów, symetrycznych względem wierzchołka paraboli:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości:

Miejsca zerowe:

Funkcja nie przyjmuje wartości dodatnich.

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Funkcja rosnąca:

Funkcja malejąca:

Funkcja przyjmuje wartość największą: 0 dla argumentu 3.

c) 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości:

Miejsca zerowe:

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: -3 dla argumentu -1.

d) 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości:

Miejsca zerowe:

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Funkcja rosnąca:

Funkcja malejąca:

Funkcja przyjmuje wartość największą: 2 dla argumentu 1.

e) 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości:

Miejsca zerowe:

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: -2 dla argumentu 2.

f) 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Wyznaczamy miejsca zerowe:

Brak miejsc zerowych.

Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy współrzędne dwóch dodatkowych punktów, symetrycznych względem wierzchołka paraboli:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości:

Miejsca zerowe:

brak

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 1 dla argumentu 4.