Aktualnie: 5114 użytkowników
Definicja 1
Funkcją liniową nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą wzoru , gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, zaś b wyrazem wolnym.
Twierdzenie 1
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych oraz , gdzie :
– punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY
– punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX (miejsce zerowe funkcji liniowej)
Aby naszkicować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty należące do wykresu funkcji i poprowadzić przez nie prostą.
Przykład 1
Naszkicuj wykres podanych funkcji:
a) | b) | c) | d) |
a)
Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:
oraz
Otrzymujemy
b)
Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:
oraz
Otrzymujemy
c)
Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:
oraz
Otrzymujemy
Widzimy, że w tym przypadku punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych leżą w tym samym punkcie. Aby wyznaczyć współrzędne drugiego punktu należącego do wykresu funkcji skorzystamy z jej wzoru
Podstawiamy do wzoru w miejsce zmiennej x dowolną liczbę np.: , wyznaczając w ten sposób drugą współrzędną punktu należącego do wykresu funkcji
Otrzymujemy
d)
W tym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy zero, zatem funkcja nie ma punktów wspólnych z osią OX. Wykresem takiej funkcji jest prosta, równoległa do osi OX, przechodząca przez punkt .
Twierdzenie 2
Funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy i jest ono równe .
Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy i .
Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy i .
Przykład 2
Funkcja liniowa ma takie samo miejsce zerowe jak funkcja liniowa . Oblicz b.
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji
Wiedząc, że funkcja ma to same miejsce zerowe co funkcja wyznaczamy b:
Przykład 3
Dana jest funkcja liniowa opisana wzorem . Sprawdź, ile miejsc zerowych ma funkcja f, jeśli:
a) | b) | c) |
a) Dla mamy:
Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe .
b) Dla mamy:
Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f.
c) Dla mamy:
Funkcja f nie ma miejsc zerowych.
Wśród poniższych funkcji określonych wzorami znajdują się funkcje liniowe. Wskaż je.
a)
b)
c)
d)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 1
Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b.
a)
b)
c)
d)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 2
Do wykresu proporcjonalności prostej należy punkt A. Wyznacz wzór tej funkcji i naszkicuj jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.
a)
b)
c)
d)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 3
Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej . Wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty oraz , napisz wzór tej funkcji.
a)
b)
c)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 4
Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należą punkty:
a)
b)
c)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 5
Dany jest wzór funkcji liniowej. Oblicz współrzędne punktów, jeżeli istnieją, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych. Następnie naszkicuj wykres tej funkcji i omów jej własności, jeśli:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 6
Wyznacz miejsce zerowe funkcji liniowej f, jeśli:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 7
Wyznacz brakujący współczynnik we wzorze funkcji liniowej wiedząc, że liczba podana obok wzoru funkcji jest miejscem zerowym tej funkcji.
a)
b)
c)
d)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 8
Naszkicuj wykres funkcji f. Następnie odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji f, jeśli:
a)
b)
c)
d)
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 9
Dana jest funkcja liniowa . Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji g z osią OY, jeśli:
a) | b) | c) | d) |
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 10
Dana jest funkcja liniowa . Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji h z osią OX, jeśli:
a) | b) | c) | d) |
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 11
Funkcję liniową f opisuje wzór: . Wyznacz liczbę m, dla której:
a) funkcja f jest proporcjonalnością prostą;
b) wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie ;
c) do wykresu tej funkcji należy punkt ;
d) miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1.
Dla wyznaczonej wartości m podaj wzór funkcji f i sprawdź poprawność obliczeń.
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 12
Funkcja liniowa oraz mają wspólne miejsce zerowe. Oblicz a. następnie podaj współrzędne punktu przecięcia funkcji g z osią OY.
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 13