Aktualnie: 3429 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 3364
Definicja 1
Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi 
, określoną wzorem 
, gdzie 
.
O zmiennych mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Przykład 1
Dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni. Ilu potrzeba robotników, aby wykonać tę pracę w ciągu 8 dni?
Przyjmujemy, że jeśli jeden robotnik wykonuje pewna pracę w pewnym czasie, to czterech robotników wykona tę pracę w czasie cztery razy krótszym, a dziesięciu robotników w czasie dziesięć razy krótszym. Widzimy, że liczba robotników i czas ich pracy to wielkości odwrotnie proporcjonalne.
Oznaczmy:
– liczba robotników potrzebnych do wykonania pracy w ciągu 8 dni
Wiemy, że dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni:
Wiemy, że robotników wykona tę samą pracę w ciągu 8 dni:
Otrzymujemy równanie:
Aby wykonać tę pracę w ciągu 8 dni potrzebnych jest trzydziestu robotników.
Przykład 2
Robert jadąc rowerem pokonuje drogę do szkoły w czasie 30 minut, jadąc ze średnią prędkością 
.
a) Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi pieszo ze średnią prędkością 
?
b) Jaką prędkością jedzie autobus, który pokonuje tę samą drogę w czasie 24 minut?
Oznaczmy:
– droga
– prędkość
– czas
Wielkość jest w tym przypadku współczynnikiem proporcjonalności, zaś wielkości 
są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Wiemy, że prędkość wyrażona jest wzorem:
Przekształcamy wzór tak, aby wyrażał wzór na drogę:
Wyznaczymy długość drogi jaką pokonuje Robert. Wiemy, że Robert jadąc rowerem pokonuje drogę do szkoły w czasie 30 minut, jadąc ze średnią prędkością , zatem:
a) Wiemy, że idąc pieszo Robert porusza się ze średnią prędkością , zatem:
b) Wiemy, że autobus pokonuje tę samą drogę w czasie 6 minut, zatem:
Przykład 3
Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych 
, których iloczyn jest stały i równy -5.
Wykresem funkcji 
, gdzie 
, jest hiperbola. Składa się ona z dwóch części, z których każdą nazywamy gałęzią hiperboli.
|
Gałęzie hiperboli znajdują się w I i III ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja jest malejąca:
Zbiór wartości:
|
Gałęzie hiperboli znajdują się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja jest rosnąca:
Zbiór wartości:
|
- Szczegóły
- Odsłon: 1703
Mama Kasi usmażyła powidła ze śliwek na zimę, które przełożyła do 12 słoików o pojemności 0,5 l każdy. Ile użyłaby słoików o pojemności 0,3 l każdy, a ile o pojemności 0,75 l każdy?
- Szczegóły
- Odsłon: 1881
Piętnastu robotników wykonałoby pewną pracę w czasie 12 dni.
a) ile dni zajęłoby wykonanie tej samej pracy sześciu robotnikom?
b) ilu robotników potrzeba do wykonania całej pracy w ciągu 10 dni?
- Szczegóły
- Odsłon: 1383
Książki Oli stoją na sześciu półkach, na każdej półce po tyle samo. Gdyby na każdej półce zmieścić o 3 książki więcej, to zmieściłyby się wszystkie książki Oli na czterech półkach. Ile książek ma Ola?
- Szczegóły
- Odsłon: 1608
Motocyklista poruszający się ze stałą prędkością przejechał drogę z miasta A do miasta B w ustalonym czasie. Jeśli jechałby z prędkością o 
większą, to przyjechałby o godzinę wcześniej, jeśli zaś jechałby z prędkością o mniejszą, to przyjechałby o 2 godziny później. W jakim czasie i z jaką prędkością przejechał drogę z A do B?
- Szczegóły
- Odsłon: 1844
Maciek trenuje kolarstwo. W poniedziałek podczas treningu przejechał pewną drogę w czasie 1 godziny i 20 minut. We wtorek, jadąc z prędkością o 
większą, pokonał ten sam dystans w czasie o 14 minut krótszym. Oblicz prędkość, z jaką jechał Maciek drugiego dnia. Jak długi dystans zaplanował chłopiec na poniedziałkowy i wtorkowy trening?
- Szczegóły
- Odsłon: 1559
Każda z 16 klas w liceum, wystawiła jedną sztukę podczas szkolnego festiwalu teatralnego. Rada rodziców przeznaczyła pewną kwotę pieniędzy na nagrody, po tyle samo dla każdej z nagrodzonych klas. Gdyby zostało nagrodzonych pięć klas, to każda z nich otrzymałaby o 400 zł mniej, niż gdyby zostały nagrodzone trzy klasy.
a) Oblicz, jaką kwotę przeznaczyła rada rodziców na nagrody podczas szkolnego festiwalu teatralnego.
b) Napisz wzór funkcji opisujący kwotę y otrzymanej nagrody przez każdą klasę, w zależności od liczby x nagrodzonych klas
- Szczegóły
- Odsłon: 1482
Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu 18, których długości boków są równe x i y.
a) Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji opisującej długości boku y w zależności od długości boku x.
b) Wypisz wszystkie pary liczb naturalnych 
, dla których pole prostokąta jest równe 18.
- Szczegóły
- Odsłon: 975
Trójkąt o podstawie długości 
i wysokości 
poprowadzonej na tę podstawę ma pole równe 
.
a) Oblicz , jeśli wysokość jest równa 8 cm.
b) Oblicz , jeśli podstawa ma długość 15 cm.
c) Naszkicuj wykres funkcji opisującej wysokość w zależności od długości postawy trójkąta.
- Szczegóły
- Odsłon: 1041
Naszkicuj wykres funkcji 
, gdzie 
. Następnie zaznacz na wykresie wszystkie punkty, których obie współrzędne są całkowite. Ile ich jest?
- Szczegóły
- Odsłon: 749
Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych 
, spełniające równanie 
. Ile ich jest?
- Szczegóły
- Odsłon: 788
Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych 
, spełniające równanie 
.