Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych

Szczegóły: Odsłon: 26

Definicja 1

Liczba naturalna jest podzielna przez liczbę naturalną , gdzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna , dla której .

Liczbę nazywamy dzielnikiem liczby , natomiast o liczbie mówimy, że jest wielokrotnością liczby .

Przykład 1

Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza to .

zatem

Zauważmy, że otrzymaliśmy iloczyn liczby i liczby , a więc dla dowolnej liczby naturalnej suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez .

Definicja 2

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od , której jedynymi dzielnikami są i .

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od , która nie jest liczbą pierwszą.

Liczby oraz nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przykład 2

a) Podaj sześć liczb pierwszych zaczynając od najmniejszej:

b) Podaj sześć kolejnych liczb złożonych zaczynając od :

Przykład 3

Wypisz wszystkie dzielniki liczby :

Cechy podzielności liczb naturalnych

liczba naturalna	cecha podzielności przez liczbę
2	ostatnią cyfrą liczby jest
3	suma cyfr liczby jest podzielna przez
4	dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez
5	ostatnią cyfrą liczby jest
6	liczba jest podzielna przez i przez
8	trzy ostatnie cyfry to lub tworzą liczbę podzielną przez
9	suma cyfr liczby jest podzielna przez
10	ostatnią cyfrą liczby jest
25	dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę lub są zerami

Przykład 4

Liczba :

- jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest

- jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi i jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę , a ta nie jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest

- jest podzielna przez , ponieważ jest podzielna przez i przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej trzy ostatnie cyfry nie są zerami i liczba utworzona z trzech ostatnich liczb, czyli , nie jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi i nie jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8

- nie jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie liczby nie tworzą liczby , ani nie są zerami.

Definicja 3

Największym wspólnym dzielnikiem () liczb i nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb i i zapisujemy .

Najmniejszą wspólną wielokrotnością () liczb i nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, różną od zera, która jest podzielna przez każdą z liczb i i zapisujemy .

Przykład 5

Znajdziemy i

Największy wspólny dzielnik

Wyznaczamy rozkład liczb i na czynniki pierwsze (wykonujemy dzielenie liczby przez najmniejsze możliwe większe od naturalne dzielniki tych liczb)

Wykonujemy dzielenie liczby

Zatem liczbę możemy zapisać jako:

Wykonujemy dzielenie liczby

Zatem liczbę możemy zapisać jako:

Zauważamy, że w rozkładach na czynniki pierwsze liczb i powtarza się , zatem

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Już wiemy, że oraz . Wyznaczając bierzemy po uwagę wszystkie czynniki, które nie powtarzają się w obydwu rozkładach, zatem z liczby i z liczby .

Twierdzenie 1

Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich i , prawdziwa jest równość

Twierdzenie 2

Dla dowolnych liczb naturalnych i , gdzie istnieje tylko jedna para liczb naturalnych i , dla których , gdzie .

Reszta z dzielenia liczb całkowitych jest równa lub jest liczbą całkowitą dodatnią.

Przykład 6

Jakie reszty możemy otrzymać w wyniku dzielenia liczb naturalnych przez ?

Reszta z dzielenia jest liczbą naturalną, która jest mniejsza od dzielnika, zatem w wyniku dzielenia liczby naturalnej przez , możemy otrzymać następujące reszty:

Przykład 7

ponieważ

Definicja 5

Liczbę całkowitą nazywamy liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez .

Dla dowolnej liczby naturalnej liczba parzysta ma postać:

Liczbę całkowitą nazywamy liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie podzielna przez .

Dla dowolnej liczby naturalnej liczba nieparzysta ma postać:

Przykład 8

Obliczmy resztę z dzielenia przez liczby , gdzie .

Reszta z dzielenia może być lub liczbą naturalną dodatnią, zatem przed jej wyznaczeniem przekształcimy nasze wyrażenie

Wyrażenie jest liczbą całkowitą, ponieważ , zatem wyrażenie jest liczbą całkowitą podzielną przez .

Wniosek:

Wyrażenie to liczba całkowita, która przy dzieleniu przez daje resztę .

Szczegóły: Odsłon: 25

Liczby i rozłóż na czynniki pierwsze. Następnie wyznacz oraz .

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 1

Szczegóły: Odsłon: 26

Na podstawie odpowiednich cech podzielności liczb naturalnych podaj, które z podanych liczb są dzielnikami liczby:

a) 40008 b) 556812

c) 209370 d) 45000

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 2

Szczegóły: Odsłon: 25

Litera X oznacza w liczbie 8015X cyfrę jedności. Podaj, które cyfry można wpisać w miejsce X, aby liczba ta była podzielna:

a) przez 9 b) przez 5 c) przez 4

d) przez 3 i nie była podzielna przez 2 e) przez 8

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 3

Szczegóły: Odsłon: 25

Liczba jest podzielna przez , zaś . Oceń, czy podane poniżej liczby są również podzielne przez :

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 4

Szczegóły: Odsłon: 22

Liczby i są liczbami pierwszymi większymi od . Jaką liczbą pierwszą czy złożoną jest liczba oraz liczba ?

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 5

Szczegóły: Odsłon: 24

Wypisz wszystkie liczby całkowite nie mniejsze od i jednocześnie nie większe niż . Ile jest wśród nich liczb:

a) naturalnych

b) pierwszych

c) złożonych

d) parzystych

e) nieparzystych

f) podzielnych przez ?

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 6

Szczegóły: Odsłon: 23

Wypisz elementy zbioru:

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 7

Szczegóły: Odsłon: 26

Zapisz:

a) trzy kolejne liczby naturalne, z których największą jest liczba ;

b) trzy kolejne liczby parzyste, z których najmniejszą jest ;

c) trzy kolejne liczby nieparzyste, z których największą jest ;

d) w postaci ogólnej liczbę naturalną, która w wyniku dzielenia przez daje resztę ;

e) w postaci ogólnej liczbę całkowitą, która w wyniku dzielenia przez daje resztę ;

f) w postaci ogólnej dwie kolejne liczby naturalne, które w wyniku dzielenia przez dają resztę .

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 8

Szczegóły: Odsłon: 28

Liczba jest całkowita. Podaj resztę z dzielenia liczby przez liczbę , jeśli:

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 9

Szczegóły: Odsłon: 25

Ile jest równa reszta z dzielenia przez sumy trzech kolejnych liczb całkowitych:

a) nieparzystych

b) parzystych

c) niepodzielnych przez ?

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 10

Szczegóły: Odsłon: 22

Czy suma czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez ? Odpowiedź uzasadnij.

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 11

Szczegóły: Odsłon: 23

Czy suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez ? Odpowiedź uzasadnij.

Czytaj więcej: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 12

Szczegóły: Odsłon: 26

Liczba naturalna w wyniku dzielenia przez daje resztę , zaś liczba naturalna w wyniku podzielenia przez daje resztę . Jaką resztę otrzymamy w wyniku podzielenia przez liczby: