Definicja 1

Liczba naturalna  jest podzielna przez liczbę naturalną , gdzie  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna , dla której .

Liczbę  nazywamy dzielnikiem liczby , natomiast o liczbie  mówimy, że jest wielokrotnością liczby .

Przykład 1

Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza to .

zatem

Zauważmy, że otrzymaliśmy iloczyn liczby  i liczby , a więc dla dowolnej liczby naturalnej  suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez .

Definicja 2

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną  większą od , której jedynymi dzielnikami są  i .

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną  większą od , która nie jest liczbą pierwszą.

Liczby  oraz  nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przykład 2

a) Podaj sześć liczb pierwszych zaczynając od najmniejszej:

b) Podaj sześć kolejnych liczb złożonych zaczynając od :

Przykład 3

Wypisz wszystkie dzielniki liczby :

Cechy podzielności liczb naturalnych

Przykład 4

Liczba :

- jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest

- jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi i jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę , a ta nie jest podzielna przez 

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest

- jest podzielna przez , ponieważ jest podzielna przez  i przez 

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej trzy ostatnie cyfry nie są zerami i liczba utworzona z trzech ostatnich liczb, czyli , nie jest podzielna przez 

- nie jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi i nie jest podzielna przez 

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8

- nie jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie liczby nie tworzą liczby , ani nie są zerami.

Definicja 3

Największym wspólnym dzielnikiem () liczb  i  nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb  i  i zapisujemy .

Najmniejszą wspólną wielokrotnością () liczb  i  nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, różną od zera,  która jest podzielna przez każdą z liczb  i   i zapisujemy .

Przykład 5

Znajdziemy  i 

Największy wspólny dzielnik

Wyznaczamy rozkład liczb  i  na czynniki pierwsze (wykonujemy dzielenie liczby przez najmniejsze możliwe większe od  naturalne dzielniki tych liczb)

Wykonujemy dzielenie liczby 

Zatem liczbę  możemy zapisać jako:

Wykonujemy dzielenie liczby 

Zatem liczbę  możemy zapisać jako:

Zauważamy, że w rozkładach na czynniki pierwsze liczb  i  powtarza się , zatem

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Już wiemy, że  oraz . Wyznaczając  bierzemy po uwagę wszystkie czynniki, które nie powtarzają się w obydwu rozkładach, zatem  z liczby  i  z liczby .

Twierdzenie 1

Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich  i , prawdziwa jest równość

Twierdzenie 2

Dla dowolnych liczb naturalnych  i , gdzie  istnieje tylko jedna para liczb naturalnych  i , dla których , gdzie .

Reszta z dzielenia liczb całkowitych jest równa  lub jest liczbą całkowitą dodatnią.

Przykład 6

Jakie reszty możemy otrzymać w wyniku dzielenia liczb naturalnych przez ?

Reszta z dzielenia jest liczbą naturalną, która jest mniejsza od dzielnika, zatem w wyniku dzielenia liczby naturalnej przez , możemy otrzymać następujące reszty:

Przykład 7

 ponieważ 

 ponieważ 

 ponieważ 

 ponieważ 

Definicja 5

Liczbę całkowitą nazywamy liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez .

Dla dowolnej liczby naturalnej  liczba parzysta  ma postać:

Liczbę całkowitą nazywamy liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie podzielna przez .

Dla dowolnej liczby naturalnej  liczba nieparzysta  ma postać:

Przykład 8

Obliczmy resztę z dzielenia przez  liczby , gdzie .

Reszta z dzielenia może być   lub liczbą naturalną dodatnią, zatem przed jej wyznaczeniem przekształcimy nasze wyrażenie 

Wyrażenie  jest liczbą całkowitą, ponieważ , zatem wyrażenie  jest liczbą całkowitą podzielną przez .

Wniosek:

Wyrażenie  to liczba całkowita, która przy dzieleniu przez  daje resztę .