yt Youtube      mail Kontakt     tw Twitter     fb Facebook     in Instagram

 

Polityka plików cookie

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY. Naszkicuj wykres funkcji, następnie odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości tej funkcji.

a) image001 

b) image002 

c) image003 

      wesprzyj

Rozwiązanie:

a) image001

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY jest równa zero (image004). Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY:

image001

image005

image006

image007

image008

Zapisujemy współrzędne punktu przecięcia z osią OY:

image009

Wiemy, że wzór każdej funkcji kwadratowej image010, gdzie image011, można zapisać w postaci image012, gdzie image013 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f oraz, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  image014.

image001

image012

image015

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

image016

image017

Osią symetrii wykresu paraboli jest prosta o równaniu image014, zatem:

image018

Wyznaczyliśmy współrzędne punktu przecięcia z osią OY: image009.

Wyznaczamy punkt symetryczny względem prostej image018:

image001

image020

image021

image022

image023

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych image024.

image025

Odczytujemy przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji f:

Funkcja rosnąca: image026;

Funkcja malejąca: image027;

Zbiór wartości: image028.

b) image002

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY jest równa zero (image004). Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY:

image002

image029

image030

image031

image032

Zapisujemy współrzędne punktu przecięcia z osią OY:

image033

Wiemy, że wzór każdej funkcji kwadratowej image010, gdzie image011, można zapisać w postaci image012, gdzie image013 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji g oraz, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  image014.

image002

image012

image034

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

image016

image035

Osią symetrii wykresu paraboli jest prosta o równaniu image014, zatem:

image036

Wyznaczyliśmy współrzędne punktu przecięcia z osią OY: image033.

Wyznaczamy punkt symetryczny względem prostej image036:

image002

image038

image039

image040

image041

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych image042.

image043

Odczytujemy przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji g:

Funkcja malejąca: image044;

Funkcja rosnąca: image045;

Zbiór wartości: image046.

c) image003

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY jest równa zero (image004). Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY:

image003

image047

image048

image049

image050

image051

Zapisujemy współrzędne punktu przecięcia z osią OY:

image052

Wiemy, że wzór każdej funkcji kwadratowej image010, gdzie image011, można zapisać w postaci image012, gdzie image013 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji h oraz, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  image014.

image003

image012

image053

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

image016

image054

Osią symetrii wykresu paraboli jest prosta o równaniu image014, zatem:

image055

Wyznaczyliśmy współrzędne punktu przecięcia z osią OY: image052.

Wyznaczamy punkt symetryczny względem prostej image055:

image003

image057

image058

image059

image060

image061

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych image062.

image063

Odczytujemy przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji h:

Funkcja malejąca: image028;

Funkcja rosnąca: image064;

Zbiór wartości: image065.