Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY. Naszkicuj wykres funkcji, następnie odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości tej funkcji.

a)  

b)  

c)  

Rozwiązanie:

a) 

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY jest równa zero (). Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY:

Zapisujemy współrzędne punktu przecięcia z osią OY:

Wiemy, że wzór każdej funkcji kwadratowej , gdzie , można zapisać w postaci , gdzie  to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f oraz, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  .

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Osią symetrii wykresu paraboli jest prosta o równaniu , zatem:

Wyznaczyliśmy współrzędne punktu przecięcia z osią OY: .

Wyznaczamy punkt symetryczny względem prostej :

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych .

Odczytujemy przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji f:

Funkcja rosnąca: ;

Funkcja malejąca: ;

Zbiór wartości: .

b) 

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY jest równa zero (). Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY:

Zapisujemy współrzędne punktu przecięcia z osią OY:

Wiemy, że wzór każdej funkcji kwadratowej , gdzie , można zapisać w postaci , gdzie  to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji g oraz, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  .

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Osią symetrii wykresu paraboli jest prosta o równaniu , zatem:

Wyznaczyliśmy współrzędne punktu przecięcia z osią OY: .

Wyznaczamy punkt symetryczny względem prostej :

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych .

Odczytujemy przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji g:

Funkcja malejąca: ;

Funkcja rosnąca: ;

Zbiór wartości: .

c) 

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY jest równa zero (). Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY:

Zapisujemy współrzędne punktu przecięcia z osią OY:

Wiemy, że wzór każdej funkcji kwadratowej , gdzie , można zapisać w postaci , gdzie  to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji h oraz, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  .

Zapisujemy współrzędne wierzchołka:

Osią symetrii wykresu paraboli jest prosta o równaniu , zatem:

Wyznaczyliśmy współrzędne punktu przecięcia z osią OY: .

Wyznaczamy punkt symetryczny względem prostej :

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych .

Odczytujemy przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji h:

Funkcja malejąca: ;

Funkcja rosnąca: ;

Zbiór wartości: .