Definicja 1

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem , gdzie . Liczby rzeczywiste a, b oraz c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

, gdzie  Ramiona paraboli skierowane są do góry. Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość, nie przyjmuje wartości największej. Najmniejsza wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, równą q. Oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  .	, gdzie  Ramiona paraboli skierowane są do dołu. Funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość, nie przyjmuje wartości najmniejszej. Największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, równą q. Oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  .

Parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej , gdzie , przecina oś OY w punkcie o współrzędnych .

Jeśli liczby  są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, to osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu:

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej .

Zauważamy, że współczynnik , zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.

Przekształcamy wzór funkcji  korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

Zauważamy, że najmniejszą wartość, czyli zero funkcja f przyjmuje dla argumentu .

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji  ma zatem współrzędne .

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji  jest prosta opisana równaniem .

Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy jeszcze kilka punktów:

oraz punkty do nich symetryczne względem prostej :

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej , wyznacz jej miejsca zerowe oraz zapisz przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

Zauważamy, że współczynnik , zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:

Miejscami zerowymi funkcji f są liczby: 0 i 4.

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji f:

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli opisanej wzorem :

Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy jeszcze kilka punktów:

oraz punkty do nich symetryczne względem prostej :

Odczytujemy przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:

Wzór każdej funkcji kwadratowej , gdzie , można zapisać w postaci , gdzie  to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wzór  nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Przykład 3

Ze wzoru funkcji kwadratowej  odczytaj:

a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

b) argument, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.

c) zapisz równanie będące osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.

a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wiemy, że we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej  to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

b) argument, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.

Współczynnik , zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.

Wiemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne , zatem

najmniejszą wartość, czyli , funkcja f przyjmuje dla argumentu .

c) zapisz równanie będące osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wiemy, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  .

Przykład 4

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeśli:

a) 

b) 

a) 

Funkcja f w postaci kanonicznej opisana jest wzorem:

b) 

Funkcja f w postaci kanonicznej opisana jest wzorem: