Odwiedza nas 127  gości oraz 0 użytkowników.

yt Youtube      mail Kontakt     tw Twitter     fb Facebook     in Instagram

 

Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza bądź równa r.

Twierdzenie 1. (pole koła)

Pole koła o promieniu image001 wyraża się wzorem:

image002

image003

Przykład 1.

Oblicz pole koła o promieniu image004. Podaj przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do image005.

Rozwiązanie:

Obliczamy pole koła.

Wiemy, że:

image003

image006

Otrzymujemy:

image007

image008

Podajemy przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do image005.

Wiemy, że:

image008

image009

Otrzymujemy:

image010

image011

image012

Przykład 2.

Dwa okręgi współśrodkowe o różnym promieniu wyznaczają pierścień kołowy. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu i ma długość image013. Oblicz pole tego pierścienia.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

image014

Oznaczmy:

image015 – długość promienia większego koła

image001 – długość promienia mniejszego koła

image016 – pole pierścienia

image017 – pole większego koła

image018 – pole mniejszego koła

Wiemy, że:

image019

image020

image021

Otrzymujemy:

image022

image023

Wyznaczamy wartość wyrażenia image024 korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Wiemy, że:

image025

Otrzymujemy:

image026

image027

Obliczamy pole pierścienia.

Wiemy, że:

image023

image027

Otrzymujemy:

image028

image029

Część wspólną koła i kąta środkowego image030 nazywamy wycinkiem koła, odpowiadającym temu kątowi.

image031

Twierdzenie 2. (pole wycinka koła)

Pole wycinka koła o promieniu r wyraża się wzorem:

image030 – miara kąta środkowego

image032 – długość łuku jaki wyznacza wycinek koła

image033

image034 lub image035

Przykład 3.

Oblicz pole wycinka kola o promieniu image036, jeśli:

a) kąt środkowy image037;

b) łuk jaki wyznacza wycinek koła ma długość image038.

Rozwiązanie:

Obliczamy pole wycinka koła.

a) Wiemy, że:

image039

image037

image034

Otrzymujemy:

image040

image041

image042

image043

b) Wiemy, że:

image039

image044

image035

Otrzymujemy:

image045

image046

image047

image048

image049

Przykład 3.

W wycinek koła o promieniu image050 wpisano okrąg o promieniu image051. Oblicz pole podanego wycinka.

image052

Rozwiązanie:

Wyznaczamy długość odcinka AO.

Wiemy, że:

image053

image054

Otrzymujemy:

image055

image056

Wyznaczamy miarę kąta BAO korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Wiemy, że:

image057

image058

image059

Otrzymujemy:

image060

image061

Wyznaczamy miarę kąta image030.

Wiemy, że:

image062

image061

Otrzymujemy:

image063

image064

Obliczamy pole wycinka.

Wiemy, że:

image065

image064

image066

Otrzymujemy:

image067

image068

image069

image070

Dowolna cięciwa dzieli koło na dwa odcinki kołowe.

image071

Przykład 4.

Oblicz pole odcinka kołowego zaznaczonego kolorem na rysunku poniżej, jeśli promień koła jest równy image072, a cięciwa ma długość image073.

image074

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

image001 – promień koła

image075 – długość cięciwy

image030 – kąt środkowy

Wyznaczamy miarę kąta środkowego image030 korzystając z twierdzenia cosinusów.

Wiemy, że:

image076

image077

image078

image079

image080

Otrzymujemy:

image081

image082

image083

image084

image085

image086

image087

Korzystamy z wzorów redukcyjnych.

Wiemy, że:

image088

image089

Otrzymujemy:

image090

image091

Obliczamy pole trójkąta wyznaczonego przez cięciwę i promienie koła.

Wiemy, że:

image092

image076

image091

image093

Otrzymujemy:

image094

image095

image096

image097

image098

image099

Obliczamy pole wycinka koła.

Wiemy, że:

image034

image076

image091

Otrzymujemy:

image100

image101

image102

Obliczamy pole odcinka kołowego.

Oznaczmy:

image103 – pole odcinka kołowego

image104 – pole wycinka koła

image105 – pole trójkąta wyznaczonego przez cięciwę i promienie koła

Zauważamy że:

image106

Otrzymujemy:

image107