Twierdzenie 1. (bok i wysokość)

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

Przykład 1.

W trójkącie prostokątnym ABC kąt BAC jest prosty oraz , . Oblicz wysokość  poprowadzoną z wierzchołka A.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

Wyznaczamy długość boku  korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Wyznaczamy wysokość .

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

- jeśli podstawą trójkąta jest bok :

- jeśli podstawą trójkąta jest bok :

zatem:

Twierdzenie 2.

Stosunek pól dwóch trójkątów o takiej samej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw, do których ta wysokość została poprowadzona.

Przykład 2.

Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie O. Trzy spośród czterech wyznaczonych w ten sposób trójkątów mają pola odpowiednio równe 10, 12, 16, jak na rysunku poniżej. Oblicz pole czwartego trójkąta.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że trójkąty ABO i BCO mają wspólną wysokość .

Wyznaczamy stosunek długości podstaw AO i OC.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Zauważamy, że trójkąty ADO i CDO mają wspólną wysokość .

Wyznaczamy pole trójkąta CDO.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 3. (dwa boki trójkąta i kąt zawarty między tymi bokami)

Pole trójkąta o bokach długości ,  i kącie  zawartym między tymi bokami wyraża się wzorem:

Przykład 3.

Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość  i , a kąt zawarty między tymi bokami jest równy .

Rozwiązanie:

Obliczamy pole trójkąta.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 4. (okrąg wpisany w trójkąt)

Pole trójkąta równa się iloczynowi promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i połowy obwodu tego trójkąta.

Przykład 4.

W trójkąt ABC o polu równym  wpisano okrąg o promieniu . Oblicz obwód trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

Obliczamy obwód trójkąta ABC.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 5. (okrąg opisany na trójkącie)

Pole trójkąta o bokach mających długość a, b, c wyraża się wzorem:

Przykład 5.

W trójkącie ABC dwa boki mają długość: , , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy . Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta wiedząc, że jego pole jest równe .

Rozwiązanie:

Obliczamy długość trzeciego boku trójkąta ABC.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 6. (Wzór Herona, trzy boki trójkąta)

Pole trójkąta o bokach mających długość a, b, c wyraża się wzorem:

 – długości boków trójkąta ABC

 – połowa obwodu trójkąta

 – pole trójkąta

Przykład 6.

W trójkącie ABC dwa boki mają długość: , , . Oblicz pole trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

Obliczamy pole trójkąta ABC.

Wiemy, że: