Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a)

b)

c)

d)

Rozwiązanie:

a) 

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli  do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

b) 

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez .

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Po wyznaczeniu y wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli  do drugiego równania w miejsce niewiadomej y.

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

c) 

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez .

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli  do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

d) 

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez .

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli  do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .