Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników.

Przykład 1

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) 

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy dowolne równanie pomnożyć przez .

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników, równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli  do pierwszego równania w miejsce niewiadomej x.

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

b) 

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, pierwsze równanie pomnożymy przez , drugie pomnożymy przez .

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Wyznaczamy niewiadomą y w drugim równaniu:

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

c) 

Porządkujemy układ równań:

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez .

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

Otrzymane równanie, czyli  dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.