Definicja 1

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb , która spełnia jednocześnie oba równania układu.

Definicja 2

Rozwiązać układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, to wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania albo stwierdzić, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Przykład 1

Na rysunku w jednym układzie współrzędnych naszkicowane są proste, będące wykresami dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

 oraz 

Te dwie proste przecinają się w punkcie o współrzędnych . Jest to jedyny punkt należący do obydwu prostych, zatem para liczb  jest jedynym rozwiązaniem układu równań:

Wyróżniamy trzy rodzaje układów dwóch równań  pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

Układ oznaczony, gdy proste mają jeden punkt wspólny, układ ma wówczas jedno rozwiązanie.

Układ nieoznaczony, gdy proste są do siebie równoległe i ich wykresy pokrywają się, czyli mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, układ ma wówczas nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ sprzeczny, gdy proste są do siebie równoległe, ale nie mają żadnych punktów wspólnych, układ nie ma wówczas rozwiązań.

Przykład 2

Rozwiąż graficznie układ równań 

Przekształcamy oba równania do postaci , a następnie sporządzamy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych:

Aby naszkicować wykres równania wyznaczamy współrzędne dwóch punktów:

Odczytujemy z rysunku, że proste przecinają się w punkcie o współrzędnych:

Układ równań jest oznaczony, para  jest jedynym rozwiązaniem tego układu.

Przykład 3

Rozwiąż graficznie układ równań 

Przekształcamy oba równania do postaci , a następnie sporządzamy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych:

Aby naszkicować wykres równania wyznaczamy współrzędne dwóch punktów:

Odczytujemy z rysunku, że proste pokrywają się (są opisane takimi samymi równaniami).

Układ równań jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Rozwiąż graficznie układ równań 

Przekształcamy oba równania do postaci , a następnie sporządzamy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych:

Aby naszkicować wykres równania wyznaczamy współrzędne dwóch punktów:

Odczytujemy z rysunku, że proste są do siebie równoległe, nie mają żadnych punktów wspólnych.

Układ równań jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.