Definicja 1.

Symetrią osiową względem prostej  nazywamy przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi , , przyporządkowujemy taki punkt , dla którego prosta  jest prostopadła do prostej  i środkiem odcinka  jest punkt  należący do prostej . Jeśli , to obrazem tego punktu w symetrii osiowej względem prostej  jest ten sam punkt. Symetrię osiową względem prostej  oznaczamy .

Twierdzenie 1.

Obrazem punktu  w symetrii względem osi OX jest punkt .

Obrazem punktu  w symetrii względem osi OY jest punkt .

Przykład 1.

W układzie współrzędnych narysuj odcinek AB, gdzie . Następnie wyznacz obraz tego odcinka, czyli odcinek CD, w symetrii osiowej względem osi OX, oraz obraz tego odcinka, czyli odcinek EF, w symetrii osiowej względem osi OY. Podaj współrzędne punktów C, D, E i F.

Twierdzenie 2.

Jeśli wykres funkcji  przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OX, to otrzymamy wykres funkcji .

Przykład 1.

Dana jest funkcja , gdzie . Naszkicuj obraz wykresu tej funkcji w symetrii osiowej względem osi OX, a następnie wyznacz wzór otrzymanej funkcji.

Wyznaczamy wzór funkcji :

Wiemy, że jeśli wykres funkcji  przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OX, to otrzymamy wykres funkcji , zatem:

, gdzie 

Przykład 2.

Wykres funkcji opisanej wzorem  przekształcono przez symetrię osiową względem osi OX. Wyznacz wzór funkcji, której wykres otrzymano.

Wiemy, że jeśli wykres funkcji  przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OX, to otrzymamy wykres funkcji , zatem:

Twierdzenie 3.

Jeśli wykres funkcji  przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji .

Przykład 3.

Dana jest funkcja , gdzie . Naszkicuj obraz wykresu tej funkcji w symetrii osiowej względem osi OY, a następnie wyznacz wzór otrzymanej funkcji.

Wyznaczamy wzór funkcji :

Wiemy, że jeśli wykres funkcji  przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji , zatem:

, gdzie 

Przykład 4.

Wykres funkcji opisanej wzorem  przekształcono przez symetrię osiową względem osi OY. Wyznacz wzór funkcji, której wykres otrzymano.

Wiemy, że jeśli wykres funkcji  przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji , zatem: