Definicja 1.

Jednomianem stopnia , , jednej zmiennej rzeczywistej  nazywamy wyrażenie, które można zapisać w postaci , gdzie  jest ustaloną liczbą rzeczywistą różną od 0.

Liczbę  nazywamy współczynnikiem wielomianu.

Jednomianem stopnia zero nazywamy stalą różną od zera.

Jednomianem zerowym nazywamy stalą równą 0. Jednomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Przykład 1.

Podaj współczynnik i stopień wielomianu, jeśli:

a) 

b) 

Rozwiązanie:

a) 

Współczynnik wielomianu:

Stopień wielomianu:

b) 

Przekształcamy jednomian do najprostszej postaci:

Współczynnik wielomianu:

Stopień wielomianu:

Jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikami liczbowymi nazywamy jednomianami podobnymi lub wyrazami podobnymi.

Jednomian zerowy uważamy za podobny do każdego jednomianu.

Jednomiany podobne można zredukować.

Przykład 2.

Zredukuj wyrazy podobne. Podaj współczynnik i stopień wielomianu .

Rozwiązanie:

Przekształcamy jednomian:

Współczynnik wielomianu:

Stopień wielomianu:

Definicja 2.

Wielomianem stopnia , , jednej zmiennej rzeczywistej  nazywamy wyrażenie, które można zapisać w postaci

, gdzie  są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, .

Liczby  nazywamy współczynnikami wielomianu.

Jednomiany , , , ..., , ,  nazywamy wyrazami wielomianu.

Dodatkowo wyraz  nazywamy wyrazem wolnym.

Wielomiany zmiennej  oznaczamy:

 itp.

Przykład 3.

Uporządkuj wielomian :

a) rosnąco

b) malejąco.

Rozwiązanie:

a) rosnąco

b) malejąco

Wielomianem stopnia zero nazywamy każdą ustaloną liczbę rzeczywistą różna od zera, np.:

, itp.

Wielomianem zerowym nazywamy liczbę równą zeru. Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Wielomian zerowy zapisujemy:

Przykład 4.

Podaj stopień wielomianu , gdzie  oraz wypisz jego współczynniki.

Rozwiązanie:

Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy wielomian malejąco:

Wypisujemy współczynniki wielomianu:

Zapisujemy stopień wielomianu:

Wielomianem będącym sumą dwóch niezerowych jednomianów różnych stopni nazywamy dwumianem, np.:

Dwumian stopnia pierwszego , gdzie  nazywamy dwumianem liniowym.

Wielomianem będącym sumą trzech niezerowych jednomianów różnych stopni nazywamy trójmianem, np.:

Trójmian stopnia drugiego , gdzie  nazywamy trójmianem kwadratowym.

Przykład 5.

Oblicz wartość wielomianu  dla liczby 3.

Rozwiązanie:

Obliczamy wartość wielomianu  dla :

Twierdzenie 1.

Suma wszystkich współczynników wielomianu  jest równa .

Przykład 6.

Oblicz sumę współczynników wielomianu .

Rozwiązanie:

Obliczamy sumę współczynników wielomianu, wyznaczając :