Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt  jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta .

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt  jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta .

Rozwiązanie:

Obliczmy pole podstawy

Obliczamy pole powierzchni całkowitej

Obliczamy pole powierzchni jednej ściany bocznej. Wiemy, że powierzchnia całkowita naszej bryły to powierzchnia podstawy i czterech takich samych ścian bocznych, zatem

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta znajdziemy długość wysokości ściany bocznej ES

Zauważamy, że długość odcinka AE to połowa długości odcinka AB, zatem

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa znajdziemy długość odcinka AS

Wiemy, że przekątna kwadratu o boku długości  ma długość . Korzystając z tej informacji znajdziemy długość odcinka AO

Korzystając z funkcji trygonometrycznych wyznaczamy  w trójkącie AOS

Skracamy 3 i pozbywamy się pierwiastka z mianownika

Matematyka, matura 2019: zadanie 34 - poziom podstawowy