Właściciel sklepu odzieżowego kupuje w hurtowni koszule męskie w cenie 30 zł za sztukę i sprzedaje każdą po 90 zł. Miesięcznie sprzedaje 16 koszul. Badając rynek odzieżowy, zauważył, że każda obniżka ceny koszuli o 2 zł powoduje wzrost sprzedaży o 1 sztukę. Jaką cenę koszuli powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – obniżka w złotych i jednocześnie wzrost sprzedaży w sztukach

Wiemy, że koszule kupowane są po 30 zł i sprzedawane po 90 zł.

 – cena koszuli w sklepie po obniżce o x złotych

Wiemy, że miesięcznie sprzedawca sprzedaje 16 koszul.

Wiemy, że każda obniżka ceny koszuli o 2 zł powoduje wzrost sprzedaży o 1 sztukę, wynika stąd, że obniżka o 1 zł powoduje wzrost sprzedaży o 0,5 sztuki:

 – liczba sprzedanych sztuk koszul po oniżce o x złotych

Jeżeli zmniejszy się cena sprzedaży koszuli jednocześnie wzrośnie liczba sprzedawanych i zarazem kupowanych koszul, zatem kwotę jaką uzyska sprzedawca ze sprzedaży koszul opiszemy równaniem:

Zapisujemy równanie opisujące zysk właściciela sklepu:

Przekształcamy równanie:

Zauważamy, że ramiona paraboli skierowane są do dołu (a<0), zatem największą wartość otrzymamy dla pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli.

Wiemy, że:

Wyznaczamy wartość x:

Obliczamy cenę jaką powinien ustalić sprzedawca: