Definicja 1

Niech dany będzie kąt  w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu tego kąta wybieramy dowolny punkt  różny od punktu  jak na rysunkach poniżej

wówczas:

Zauważamy, że długość odcinka AO to korzystając z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym np.:

Zauważamy, że:

wówczas jeśli:

otrzymujemy:

Przykład 1

Posługując się definicją 1, oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów:

a) 

Wykonujemy rysunek:

Otrzymujemy:

 - nie istnieje,  musi być różne od zera

b) 

Wykonujemy rysunek:

Otrzymujemy:

 - nie istnieje,  musi być różne od zera

Przykład 2

Posługując się definicją 1, oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta .

Wykonujemy rysunek

Rysujemy kąt , zaznaczamy dwa punkty punkt  na drugim ramieniu kąta, dodatkowo punkt  tak, aby można było odczytać jego współrzędną .

Teraz zauważamy, że powstał trójkąt prostokątny , który jest trójkątem o kątach  czyli jest połową trójkąta równobocznego:

Odczytujemy z rysunku długość odcinka BO:

Obliczamy długość odcinka AO:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość odcinka AB:

Zapisujemy współrzędne punktu :

Wyznaczamy wartości funkcji trygonometrycznych:

Przykład 3

Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt , dla którego:

a) 

Wiemy, że:

zatem:

Wykonujemy rysunek:

Rysujemy prostą o równaniu  oraz zbiór wszystkich punktów oddalonych od środka układu współrzędnych o 4 jednostki.

Zauważamy, że mamy dwa punkty przecięcia, a więc możemy narysować dwa kąty spełniające warunek:

b) 

Wiemy, że:

Zatem:

Wykonujemy rysunek:

Zauważamy, że możemy narysować dwa kąty spełniające warunek: