Rozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których krawędź 𝐵𝐶 ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka 𝐵 jest równa 15 (zobacz rysunek).

Niech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷. Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

Wiemy, że suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka 𝐵 jest równa 15, zatem:

Wyznaczamy dziedzinę.

Krawędzie prostopadłościanu muszą przyjmować wartości dodatnie, zatem:

 i 

Wiemy, że 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵, zatem:

Wyznaczamy długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

W tym celu wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji P(x) (ramiona paraboli skierowane są do dołu a<0):

Wiemy, że

Przyjmujemy to rozwiązanie ponieważ punkt p należy do dziedziny

Matematyka, matura 2025 zadanie 31 - poziom podstawowy